Esboce a curva de nível
para os valores especificados.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar as curvas de nível
da superfície dada por
para os valores
.
Informações dadas:
Informações dadas:
Valores pedidos:
.
A tarefa é encontrar, para cada , a curva no plano
que satisfaz
.
A tarefa é encontrar, para cada
Passo 2
O que é uma curva de nível? É o conjunto de pontos
que fazem a função
assumir um valor fixo
. Formalmente, a curva de nível de altura
é o lugar geométrico definido por
No nosso caso isso corresponde à interseção da superfície com o plano horizontal
; projetando isso no plano
obtemos a curva que vamos esboçar.
Passo 3
Vamos substituir
na expressão dada e isolar
. Partindo de
subtraímos
e multiplicamos/isolamos
:
Colocando de forma mais clara:
Passo 4
Interpretação desta equação: para cada
a curva é uma parábola no plano
dada por
como função de
. Observações importantes:
- O coeficiente de
é , constante para todos os . Isso significa que todas as parábolas têm a mesma “abertura” (mesma curvatura) e estão voltadas para baixo (abrem no sentido decrescente de ). - O vértice de cada parábola está em
e tem coordenada
Portanto, variar
apenas desloca verticalmente a parábola sem alterar sua forma.
Passo 5
Agora calculemos explicitamente as curvas para os três valores de
.
Para
:
Vértice em
. Interseções com
(se houver): resolver
.
Para
:
Vértice em
. Interseções com
:
.
Para
:
Vértice em
. Interseções com
:
.
Passo 6
Instruções práticas para esboçar (faça isso na folha durante a prova):
- Trace o eixo
horizontal e o eixo vertical. - Marque os vértices das três parábolas:
para , para , para . - Para cada parábola, desenhe uma curva simétrica em torno do eixo
(eixo vertical), abrindo para baixo, passando pelos vértices e pelos pontos de interseção com calculados: respectivamente. - Se quiser mais pontos-guia, calcule
para e usando a fórmula para ver como a parábola cai. - Lembre-se: todas têm mesma “curvatura” (coeficiente
), apenas deslocadas verticalmente.
Passo 7
Resumo conceptual rápido para fixar: cada curva
é uma parábola do tipo
com vértice em
e coeficiente de
negativo. Para valores de
menores (mais negativos) a parábola desloca-se para cima no plano
(vértice com
maior); para
maiores a parábola desloca-se para baixo.