Esboce a curva de nível z=k para os valores especificados.
z=8-x^{2}-2 y ; k=-2,0,2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas de nível z=k da superfície dada por z=8-x^{2}-2y para os valores k=-2,\;0,\;2.
Informações dadas:
z=8-x^{2}-2y
Valores pedidos: k=-2,\;0,\;2.
A tarefa é encontrar, para cada k, a curva no plano (x,y) que satisfaz z=k.

Passo 2

O que é uma curva de nível? É o conjunto de pontos (x,y) que fazem a função z=f(x,y) assumir um valor fixo k. Formalmente, a curva de nível de altura k é o lugar geométrico definido por
f(x,y)=k.
No nosso caso isso corresponde à interseção da superfície com o plano horizontal z=k; projetando isso no plano xy obtemos a curva que vamos esboçar.

Passo 3

Vamos substituir z=k na expressão dada e isolar y. Partindo de
8-x^{2}-2y=k,
subtraímos 8 e multiplicamos/isolamos y:
-x^{2}-2y=k-8
-2y = k-8 + x^{2}
y = \frac{8-k - x^{2}}{2}.
Colocando de forma mais clara:
y = 4 - \frac{k}{2} - \frac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Interpretação desta equação: para cada k a curva é uma parábola no plano xy dada por y como função de x. Observações importantes:
  • O coeficiente de x^{2} é -\tfrac{1}{2}, constante para todos os k. Isso significa que todas as parábolas têm a mesma “abertura” (mesma curvatura) e estão voltadas para baixo (abrem no sentido decrescente de y).
  • O vértice de cada parábola está em x=0 e tem coordenada
y_{\text{vértice}}=4-\frac{k}{2}.é
Portanto, variar k apenas desloca verticalmente a parábola sem alterar sua forma.

Passo 5

Agora calculemos explicitamente as curvas para os três valores de k.
Para k=2:
y = 4 - \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} = 3 - \frac{x^{2}}{2}.
Vértice em (0,3). Interseções com y=0 (se houver): resolver 0=3-\frac{x^{2}}{2}\Rightarrow x^{2}=6\Rightarrow x=\pm\sqrt{6}\approx\pm2{,}449.
Para k=0:
y = 4 - \frac{0}{2} - \frac{x^{2}}{2} = 4 - \frac{x^{2}}{2}.
Vértice em (0,4). Interseções com y=0: 0=4-\frac{x^{2}}{2}\Rightarrow x^{2}=8\Rightarrow x=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}\approx\pm2{,}828.
Para k=-2:
y = 4 - \frac{-2}{2} - \frac{x^{2}}{2} = 5 - \frac{x^{2}}{2}.
Vértice em (0,5). Interseções com y=0: 0=5-\frac{x^{2}}{2}\Rightarrow x^{2}=10\Rightarrow x=\pm\sqrt{10}\approx\pm3{,}162.

Passo 6

Instruções práticas para esboçar (faça isso na folha durante a prova):
  1. Trace o eixo x horizontal e o eixo y vertical.
  2. Marque os vértices das três parábolas: (0,5) para k=-2, (0,4) para k=0, (0,3) para k=2.
  3. Para cada parábola, desenhe uma curva simétrica em torno do eixo y (eixo vertical), abrindo para baixo, passando pelos vértices e pelos pontos de interseção com y=0 calculados: \pm\sqrt{10},\pm\sqrt{8},\pm\sqrt{6} respectivamente.
  4. Se quiser mais pontos-guia, calcule y para x=\pm1 e x=\pm2 usando a fórmula y = y_{\text{vértice}} - \tfrac{x^{2}}{2}é para ver como a parábola cai.
  5. Lembre-se: todas têm mesma “curvatura” (coeficiente -\tfrac{1}{2}), apenas deslocadas verticalmente.

Passo 7

Resumo conceptual rápido para fixar: cada curva z=k é uma parábola do tipo
y = \text{constante} - \frac{x^{2}}{2},
com vértice em x=0 e coeficiente de x^{2} negativo. Para valores de k menores (mais negativos) a parábola desloca-se para cima no plano xy (vértice com y maior); para k maiores a parábola desloca-se para baixo.

Resposta

k=-2:\;y=5-\dfrac{x^{2}}{2}
k=0:\;y=4-\dfrac{x^{2}}{2}
k=2:\;y=3-\dfrac{x^{2}}{2}

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