Esboce a curva representada pelas equações paramétricas dadas, incluindo sua orientação; e determine sua equação cartesiana.
Passo 1
A questão pede para esboçar a curva dada por x(t)=1+t² e y(t)=3−t, indicando também sua orientação, e encontrar sua equação cartesiana. O conteúdo aqui é conversão de forma paramétrica para cartesiana e análise da orientação do traçado. Vamos precisar isolar t em uma das equações e substituir na outra.
Passo 2
Da segunda equação y(t)=3−t isolamos t. Essa técnica é típica: quando temos duas equações paramétricas, escolhemos a mais simples para achar t em função de x ou y. Aqui:
implica
Passo 3
Substituímos
na expressão de x(t)=1+t² para obter a equação da curva no plano xy sem o parâmetro. Isso elimina o parâmetro.
Passo 4
A expressão
mostra que a curva é uma parábola com vértice em (1,3) e que abre para a direita, pois o coeficiente de
é positivo. O domínio é
. Agora, para a orientação, observamos como (x,y) varia conforme t cresce: em
, temos
e
(ramo superior direito); em
, chegamos ao vértice
; em
,
e
(ramo inferior direito).
Passo 5
No esboço, desenhamos a parábola
com vértice em (1,3), traçando primeiro o ramo de cima para baixo até o vértice (t cresce de −∞ a 0) e depois continuando para baixo e à direita (t cresce de 0 a +∞).
Resposta
A equação cartesiana da curva é
. Trata-se de uma parábola com vértice em (1,3), abrindo para a direita, e orientada de cima para baixo conforme t aumenta: inicia em t\to−∞ no ramo superior, passa por (1,3) em t=0 e segue para t\to+∞ no ramo inferior.