Esboce a curva representada pelas equações paramétricas dadas, incluindo sua orientação; e determine sua equação cartesiana.
x(t)=1+t^2 ; y(t)=3-t

Passo 1

A questão pede para esboçar a curva dada por x(t)=1+t² e y(t)=3−t, indicando também sua orientação, e encontrar sua equação cartesiana. O conteúdo aqui é conversão de forma paramétrica para cartesiana e análise da orientação do traçado. Vamos precisar isolar t em uma das equações e substituir na outra.

Passo 2

Da segunda equação y(t)=3−t isolamos t. Essa técnica é típica: quando temos duas equações paramétricas, escolhemos a mais simples para achar t em função de x ou y. Aqui: y=3−t implica
t=3−y

Passo 3

Substituímos t=3−y na expressão de x(t)=1+t² para obter a equação da curva no plano xy sem o parâmetro. Isso elimina o parâmetro.
x=1+(3−y)²²

Passo 4

A expressão x=1+(3−y)²² mostra que a curva é uma parábola com vértice em (1,3) e que abre para a direita, pois o coeficiente de (3−y)²² é positivo. O domínio é x>=1. Agora, para a orientação, observamos como (x,y) varia conforme t cresce: em tto−infty, temos yto+infty e xto+infty (ramo superior direito); em t=0, chegamos ao vértice (1,3); em tto+infty, yto−infty e xto+infty (ramo inferior direito).

Passo 5

No esboço, desenhamos a parábola x=1+(3−y)^2 com vértice em (1,3), traçando primeiro o ramo de cima para baixo até o vértice (t cresce de −∞ a 0) e depois continuando para baixo e à direita (t cresce de 0 a +∞).

Resposta

A equação cartesiana da curva é x=1+(3−y)^2. Trata-se de uma parábola com vértice em (1,3), abrindo para a direita, e orientada de cima para baixo conforme t aumenta: inicia em t\to−∞ no ramo superior, passa por (1,3) em t=0 e segue para t\to+∞ no ramo inferior.

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