Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quanto t aumenta.
x=sin 2 t, y=cos 2 t, 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Estamos lidando com curva paramétrica dada por x=sin(2t), y=cos(2t), para 0<= t<=2pi. O conteúdo aqui é curvas definidas por parâmetro e vamos precisar usar a relação trigonométrica para identificar a forma da curva e marcar pontos-chave.

Passo 2

Para descobrir a forma da curva, calculamos x^2+y^2. Temos:
x^2+y^2=sin^2(2t)+cos^2(2t)=1
Isso mostra que a curva é o círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

Agora vamos marcar alguns pontos importantes substituindo valores de t:
  • t=0: x=sin0=0, y=cos0=1 → ponto (0,1).
  • t=pi/4: x=sin(pi/2)=1, y=cos(pi/2)=0 → ponto (1,0).
  • t=pi/2: x=sinpi=0, y=cospi=-1 → ponto (0,-1).
  • t=3pi/4: x=sin(3pi/2)=-1, y=cos(3pi/2)=0 → ponto (-1,0).
  • t=pi: x=sin2pi=0, y=cos2pi=1 → volta ao ponto (0,1).
    Observe que, ao variar t de 0 até pi, cobrimos uma volta completa (ângulo 2t vai de 0 a 2pi). De t=pi a 2pi fazemos mais uma volta (ângulo de 2pi a 4pi).

Passo 4

Para ver a direção: começamos em (0,1) e, para um t pequeno positivo, temos sin(2t)>0 e cos(2t)<1, ou seja, saímos para a direita e descemos — isso indica sentido horário.

Passo 5

No esboço final, desenhe o círculo x^2+y^2=1, marque os pontos (0,1),(1,0),(0,-1),(-1,0) com as correspondentes t e trace uma seta no sentido horário. Note também que a curva dá duas voltas completas quando t vai de 0 até 2pi.

Resposta

É o círculo de raio 1 centrado na origem, desenhado no sentido horário, completando duas voltas à medida que t varia de 0 a 2pi.

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