Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quanto
aumenta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a curva definida pelas equações paramétricas
e
. Para isso, vamos marcar alguns pontos no gráfico e indicar a direção que a curva segue conforme
aumenta. Vamos usar conceitos de trigonometria e representação gráfica para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher alguns valores para
e calcular os correspondentes valores de
e
. Isso vai nos ajudar a plotar pontos na curva. Vamos usar valores comuns de
no intervalo de
a
:
- Para
:
Ponto: (0, 0)
- Para
:
Ponto: (1, 1)
- Para
:
Ponto: (0, 0)
- Para
:
Ponto: (-1, 1)
- Para
:
Ponto: (0, 0)
Passo 3
Agora que temos alguns pontos, vamos plotá-los no gráfico:
- (0, 0)
- (1, 1)
- (0, 0)
- (-1, 1)
- (0, 0)
Isso nos mostra que a curva passa pelo ponto original (0,0), vai até (1,1), retorna a (0,0), vai para (-1,1) e volta novamente a (0,0). Parece que a curva forma uma espécie de loop ou óvalo.
Passo 4
Para entender a direção em que a curva é traçada conforme
aumenta, vamos observar a ordem dos pontos:
- Começamos em (0, 0) quando
. - Indo para (1, 1) quando
. - Voltando para (0, 0) em
. - Indo para (-1, 1) em
. - Voltando para (0, 0) em
.
Isso indica que a curva começa no centro, vai para a direita até (1,1), volta ao centro, vai para a esquerda até (-1,1) e retorna ao centro novamente. A direção é no sentido horário.
Passo 5
Vamos lembrar que
sempre será não negativo, já que qualquer número ao quadrado é positivo ou zero. Isso confirma que a curva está localizada na metade superior do plano cartesiano.
Passo 6
Juntando tudo, a curva é um laço que vai do centro para a direita, volta, vai para a esquerda e retorna, sempre na parte superior do gráfico. A seta que indicará a direção deve seguir essa sequência de movimentos conforme
aumenta.
Resposta
O esboço da curva definida por
e
é um laço simétrico em relação ao eixo y, localizado na metade superior do plano. A curva começa no ponto (0,0), vai para (1,1), retorna para (0,0), vai para (-1,1) e volta para (0,0) novamente, com a direção traçada no sentido horário conforme
aumenta.