Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quanto t aumenta.
x=sin t, y=sin ^2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a curva definida pelas equações paramétricas x = sin t e y = sin^2 t . Para isso, vamos marcar alguns pontos no gráfico e indicar a direção que a curva segue conforme t aumenta. Vamos usar conceitos de trigonometria e representação gráfica para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher alguns valores para t e calcular os correspondentes valores de x e y . Isso vai nos ajudar a plotar pontos na curva. Vamos usar valores comuns de t no intervalo de 0 a 2pi :
  • Para t = 0 :
x = sin(0) = 0
y = sin^2(0) = 0
Ponto: (0, 0)
  • Para t = pi2 :
x = sin(pi2) = 1
y = sin^2(pi2) = 1
Ponto: (1, 1)
  • Para t = pi :
x = sin(pi) = 0
y = sin^2(pi) = 0
Ponto: (0, 0)
  • Para t = 3pi2 :
x = sin(3pi2) = -1
y = sin^2(3pi2) = 1
Ponto: (-1, 1)
  • Para t = 2pi :
x = sin(2pi) = 0
y = sin^2(2pi) = 0
Ponto: (0, 0)

Passo 3

Agora que temos alguns pontos, vamos plotá-los no gráfico:
  • (0, 0)
  • (1, 1)
  • (0, 0)
  • (-1, 1)
  • (0, 0)
Isso nos mostra que a curva passa pelo ponto original (0,0), vai até (1,1), retorna a (0,0), vai para (-1,1) e volta novamente a (0,0). Parece que a curva forma uma espécie de loop ou óvalo.

Passo 4

Para entender a direção em que a curva é traçada conforme t aumenta, vamos observar a ordem dos pontos:
  1. Começamos em (0, 0) quando t = 0 .
  2. Indo para (1, 1) quando t = pi2 .
  3. Voltando para (0, 0) em t = pi .
  4. Indo para (-1, 1) em t = 3pi2 .
  5. Voltando para (0, 0) em t = 2pi .
Isso indica que a curva começa no centro, vai para a direita até (1,1), volta ao centro, vai para a esquerda até (-1,1) e retorna ao centro novamente. A direção é no sentido horário.

Passo 5

Vamos lembrar que y = sin^2 t sempre será não negativo, já que qualquer número ao quadrado é positivo ou zero. Isso confirma que a curva está localizada na metade superior do plano cartesiano.

Passo 6

Juntando tudo, a curva é um laço que vai do centro para a direita, volta, vai para a esquerda e retorna, sempre na parte superior do gráfico. A seta que indicará a direção deve seguir essa sequência de movimentos conforme t aumenta.

Resposta

O esboço da curva definida por x = sin t e y = sin^2 t é um laço simétrico em relação ao eixo y, localizado na metade superior do plano. A curva começa no ponto (0,0), vai para (1,1), retorna para (0,0), vai para (-1,1) e volta para (0,0) novamente, com a direção traçada no sentido horário conforme t aumenta.

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