Obter a integral indefinida (primitiva) Derive a resposta a fim de conferir o resultado.
integral tg^4 x d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular a primitiva
integral tan^4 x,dx.
Os conteúdos que vamos usar são a identidade
tan^2 x=sec^2 x-1
e a substituição u=tan x para tratar de integrais com sec^2 x,dx.

Passo 2

Reescrevendo o integrando em duas partes, usamos
tan^4 x=(tan^2 x)(tan^2 x)=(sec^2 x-1)tan^2 x.
Portanto
integral tan^4 x,dx =integral (sec^2 x-1)tan^2 x,dx =integral tan^2 xsec^2 x,dx -integral tan^2 x,dx

Passo 3

Para o primeiro termo fazemos u=tan x, de onde du=sec^2 x,dx. Assim
integral tan^2 xsec^2 x,dx =integral u^2,du =u^33 =tan^3 x3

Passo 4

No segundo termo usamos outra vez tan^2 x=sec^2 x-1:
integral tan^2 x,dx =integral (sec^2 x-1),dx =integral sec^2 x,dx -integral 1,dx =tan x - x

Passo 5

Juntando tudo, a primitiva geral fica
integral tan^4 x,dx =tan^3 x3 -[,tan x - x,] + C =tan^3 x3 -tan x + x + C

Passo 6

Para conferir, derivamos
F(x)=tan^3 x3-tan x + x Longrightarrow F'(x) =tan^2 xsec^2 x -sec^2 x +1 =tan^4 x,
que é exatamente o integrando.

Resposta

boxedtan^3 x3-tan x + x + C

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