Obter a integral indefinida (primitiva) Derive a resposta a fim de conferir o resultado.
integral sen^2 x cos ^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral sin^2 x cos^2 x , dx,
logo o conteúdo principal é usar identidades trigonométricas de redução de potência para integrar um produto de potências de seno e cosseno.

Passo 2

Empregamos a identidade
sin^2 x cos^2 x = 14,sin^2(2x)
e a redução de potência
sin^2theta = 1 - cos(2theta)2
Substituindo theta=2x obtemos
sin^2 x cos^2 x = 14 cdot 1 - cos(4x)2 = 1 - cos(4x)8

Passo 3

Substituindo na integral:
integral sin^2 x cos^2 x , dx = integral 1 - cos(4x)8 , dx = 18integral 1 , dx - 18integral cos(4x) , dx
Integramos termo a termo:
18integral 1 , dx = x8, 18integral cos(4x) , dx = 18cdotsin(4x)4 = sin(4x)32
Logo
integral sin^2 x cos^2 x , dx = x8 - sin(4x)32 + C

Passo 4

Para conferir, derivamos
ddxl(x8 - sin(4x)32r) = 18 - 132cdot 4cos(4x) = 18 - cos(4x)8 = 1 - cos(4x)8 = sin^2 x cos^2 x,
confirmando que está correto.

Resposta

x8 - sin(4x)32 + C

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