Exercício 1. Encontre as antiderivadas das seguintes funções:
f(x)=e^-x sen 2 x

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar as antiderivadas da função f(x) = e^-x sin(2x) . A matéria envolvida aqui é o Cálculo Integral, mais especificamente a técnica de integração por partes ou o uso de fórmulas para integrais envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Vamos precisar manipular essas funções e aplicar a integração por partes para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é uma antiderivada. Basicamente, encontrar uma antiderivada de f(x) significa encontrar uma função F(x) cuja derivada é f(x) . Ou seja, F'(x) = f(x) .

Passo 3

Para resolver integral e^-x sin(2x) , dx , vamos usar a técnica de integração por partes. A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa função serão u e dv .

Passo 4

Vamos escolher:
u = e^-x Rightarrow du = -e^-x , dx
dv = sin(2x) , dx Rightarrow v = -12 cos(2x)

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral e^-x sin(2x) , dx = uv - integral v , du
= e^-x ( -12 cos(2x) ) - integral ( -12 cos(2x) ) ( -e^-x ) , dx
= -12 e^-x cos(2x) - 12 integral e^-x cos(2x) , dx

Passo 6

Agora, temos uma nova integral: integral e^-x cos(2x) , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes para resolver essa integral.
Escolhemos:
u = e^-x Rightarrow du = -e^-x , dx
dv = cos(2x) , dx Rightarrow v = 12 sin(2x)

Passo 7

Aplicando a fórmula novamente:
integral e^-x cos(2x) , dx = uv - integral v , du
= e^-x ( 12 sin(2x) ) - integral ( 12 sin(2x) ) ( -e^-x ) , dx
= 12 e^-x sin(2x) + 12 integral e^-x sin(2x) , dx

Passo 8

Vamos chamar a integral original de I :
I = integral e^-x sin(2x) , dx
Então, substituindo na equação anterior:
I = -12 e^-x cos(2x) - 12 ( 12 e^-x sin(2x) + 12 I )

Passo 9

Agora, vamos resolver para I :
I = -12 e^-x cos(2x) - 14 e^-x sin(2x) - 14 I
Vamos somar 14 I de ambos os lados:
I + 14 I = -12 e^-x cos(2x) - 14 e^-x sin(2x)
54 I = -12 e^-x cos(2x) - 14 e^-x sin(2x)

Passo 10

Finalmente, isolamos I :
I = ( -12 e^-x cos(2x) - 14 e^-x sin(2x) ) cdot 45
I = -25 e^-x cos(2x) - 15 e^-x sin(2x) + C

Resposta

Uma antiderivada de f(x) = e^-x sin(2x) é:
F(x) = -25 e^-x cos(2x) - 15 e^-x sin(2x) + C
Onde C é a constante de integração.

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