Exercício 1. Encontre as antiderivadas das seguintes funções:
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar as antiderivadas da função
. A matéria envolvida aqui é o Cálculo Integral, mais especificamente a técnica de integração por partes ou o uso de fórmulas para integrais envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Vamos precisar manipular essas funções e aplicar a integração por partes para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é uma antiderivada. Basicamente, encontrar uma antiderivada de
significa encontrar uma função
cuja derivada é
. Ou seja,
.
Passo 3
Para resolver
, vamos usar a técnica de integração por partes. A integração por partes é baseada na fórmula:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa função serão
e
.
Passo 4
Vamos escolher:
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Passo 6
Agora, temos uma nova integral:
. Vamos aplicar novamente a integração por partes para resolver essa integral.
Escolhemos:
Passo 7
Aplicando a fórmula novamente:
Passo 8
Vamos chamar a integral original de
:
Então, substituindo na equação anterior:
Passo 9
Agora, vamos resolver para
:
Vamos somar
de ambos os lados:
Passo 10
Finalmente, isolamos
:
Resposta
Uma antiderivada de
é:
Onde
é a constante de integração.