Obter a integral indefinida (primitiva) Derive a resposta a fim de conferir o resultado.
integral d xx^2+2 x+5

Passo 1

Opa! Vamos resolver essa integral indefinida juntos. Estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com integrais. O objetivo é encontrar a primitiva de uma função racional do tipo 1x^2+2x+5. Para isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar uma fórmula padrão de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador x^2 + 2x + 5. Completar o quadrado ajuda a simplificar a expressão para uma forma que conhecemos como integrar.
Depois de completar o quadrado, a expressão x^2 + 2x + 5 vira (x + 1)^2 + 4.

Passo 3

Agora, fazemos uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar u = x + 1, então du = dx. Substituindo na integral, temos:
integral duu^2 + 4

Passo 4

Sabemos que a integral de 1u^2 + a^2 em relação a u é 1a tan^-1(ua) + C, onde C é a constante de integração.
Aqui, a^2 = 4, então a = 2. Aplicando a fórmula:
integral duu^2 + 4 = 12 tan^-1(u2) + C

Passo 5

Agora, substituímos u de volta por x + 1:
12 tan^-1(x + 12) + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral dxx^2+2x+5 = 12 tan^-1(x + 12) + C

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