Exercício 6. Encontre as derivadas parciais primeiras indicadas das seguintes funções:
f(x, t)=e^x t^2+ln (x+t) ; D2 f(x, t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem a função f(x, t) = e^x t^2 + ln (x + t) e precisamos encontrar a derivada parcial em relação a t , que é D2 f(x, t) . Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar cada parte da função que depende de t . A função tem duas partes: e^x t^2 e ln (x + t) . Vamos derivar cada uma separadamente em relação a t .

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: e^x t^2 . Para derivar essa expressão em relação a t , usamos a regra da cadeia. A derivada de e^u em relação a t é e^u cdot dudt , onde u = x t^2 .

Passo 4

Calculando dudt para u = x t^2 :
dudt = x cdot 2t = 2x t
Então, a derivada de e^x t^2 em relação a t é:
e^x t^2 cdot 2x t = 2x t e^x t^2

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: ln (x + t) . A derivada de ln (v) em relação a t é 1v cdot dvdt , onde v = x + t .

Passo 6

Calculando dvdt para v = x + t :
dvdt = 1
Então, a derivada de ln (x + t) em relação a t é:
1x + t cdot 1 = 1x + t

Passo 7

Agora, juntamos as duas derivadas que encontramos:
D2 f(x, t) = 2x t e^x t^2 + 1x + t

Resposta

A derivada parcial primeira de f(x, t) em relação a t é:
D2 f(x, t) = 2x t e^x t^2 + 1x + t

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