Exercício 6. Encontre as derivadas parciais primeiras indicadas das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem a função
e precisamos encontrar a derivada parcial em relação a
, que é
. Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções exponenciais e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar cada parte da função que depende de
. A função tem duas partes:
e
. Vamos derivar cada uma separadamente em relação a
.
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte:
. Para derivar essa expressão em relação a
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, onde
.
Passo 4
Calculando
para
:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte:
. A derivada de
em relação a
é
, onde
.
Passo 6
Calculando
para
:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 7
Agora, juntamos as duas derivadas que encontramos:
Resposta
A derivada parcial primeira de
em relação a
é: