Esboce a curva usando as equações paramétricas para plotar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta. Em seguida, elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva
r(t)=(3 t-5,2 t+1)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva dada pelas equações paramétricas r(t)=(3t-5,,2t+1), indicar a direção conforme t cresce e em seguida eliminar o parâmetro para obter uma equação cartesiana. O conteúdo envolve representação paramétrica de uma reta e eliminação de parâmetro.

Passo 2

Primeiro observe que r(t) define uma reta no plano. Para traçar essa reta, basta escolher dois (ou mais) valores de t, calcular os pontos correspondentes e ligar esses pontos.
Por exemplo, para t=0 temos o ponto
(3cdot0-5,;2cdot0+1) = (-5,;1),
e para t=1 temos
(3cdot1-5,;2cdot1+1) = (-2,;3)
Plotando (-5,1) e (-2,3) e traçando a reta que os une, colocamos uma seta indo de (-5,1) em direção a (-2,3) para mostrar que t cresce nesse sentido.

Passo 3

Para eliminar o parâmetro, escreva primeiro
x = 3t - 5 implies t = x+53
Em seguida substitua em y = 2t + 1:
y = 2l(x+53r) + 1 = 2(x+5)3 + 1
Agora basta simplificar.
Ao simplificar obtemos
y = 2x + 103 + 33 = 2x + 133,
o que é a equação cartesiana da reta.

Passo 4

Portanto, a curva é uma reta de equação y=tfrac2x+133 com seta apontando na direção de aumento de t (da esquerda para a direita e de baixo para cima).

Resposta

y = \frac{2x + 13}{3}

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