Investigue a convergência das integrais seguintes.
integral0^1 d x1-x^4

Passo 1

O enunciado nos pede para investigar a convergência da integral imprópria
integral0^1dx1 - x^4
O único ponto em que o integrando pode explodir é x=1, pois ali 1 - x^4=0. Em x=0 a função vale 1 sem problema.

Passo 2

Para analisar o comportamento quando xto1^-, fatoramos o denominador:
1 - x^4 = (1 - x),(1 + x),(1 + x^2)
Quando x se aproxima de 1, temos 1 + xto 2 e 1 + x^2to 2, logo
1 - x^4sim 4,(1 - x) Longrightarrow 11 - x^4sim 14,(1 - x)

Passo 3

Sabemos que a integral
integrala^1dx1 - x
diverge (comportamento logarítmico). Como para x próximo de 1 vale
11 - x^4>rsim 14,(1 - x),
pelo teste de comparação concluímos que
integral0^1dx1 - x^4
também diverge.

Resposta

A integral integral0^1dx1 - x^4 diverge.

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