(a) Esboce a curva utilizando as equações paramétricas para traçar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada conforme t aumenta.
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana da curva.
x=1-t1+t, y=t^2, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar uma curva dada pelas equações paramétricas x=1-t1+t, y=t^2 para 0<= t<=1, indicar a direção conforme t cresce e, em seguida, eliminar o parâmetro para obter a forma cartesiana. Vamos usar conceitos de curvas paramétricas: cálculo de pontos, sentido de variação e álgebra para eliminar o parâmetro.

Passo 2

Para montar o esboço, escolhemos valores de t em [0,1] e calculamos (x,y):
t=0: x=1-01+0=1, y=0^2=0 (ponto (1,0))
t=0.5: x=1-0.51+0.5=0.51.5=tfrac13, y=(0.5)^2=0.25 (aprox. (0.33,0.25))
t=1: x=1-11+1=0, y=1^2=1 (ponto (0,1))

Passo 3

Com esses pontos, desenhamos uma curva suave que vai de (1,0) subindo e se aproximando de (0,1). Como t aumenta de 0 a 1, a seta aponta de direita para esquerda e de baixo para cima, começando em (1,0) e terminando em (0,1).

Passo 4

Para eliminar o parâmetro, isolamos t em x=1-t1+t. Multiplicando ambos os lados por 1+t:
x(1+t)=1-t
ou
xt + x = 1 - t

Passo 5

Reagrupando termos com t:
t(x+1)=1-x

Passo 6

Logo,
t=1-x1+x

Passo 7

Substituímos em y=t^2 e obtemos a equação cartesiana:
y=(1-x1+x)^2

Resposta

A equação cartesiana da curva, para 0<= x<=1, é
y=(1-x1+x)^2

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