Esboce as curvas cuja equação vetorial é dada abaixo.
\vec{r}(t)=\vec{i}+\cos (t) \vec{j}+2 \operatorname{sen}(t) \vec{k}.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica em \mathbb{R}^3
\vec r(t)=\vec i+\cos(t)\,\vec j+2\sin(t)\,\vec k.
O conteúdo aqui é geometria de curvas paramétricas em 3D. Vamos reconhecer que a coordenada x é constante e que as projeções em y e z formam uma elipse no plano x=1.

Passo 2

Escrevendo as componentes, temos
x(t)=1,\quad y(t)=\cos(t),\quad z(t)=2\sin(t).
Como x(t)=1 para todo t, a curva está contida no plano vertical x=1.

Passo 3

Para obter a equação cartesiana no plano x=1, eliminamos o parâmetro entre y e z. Usando \cos^2(t)+\sin^2(t)=1, temos
y^2 + \Bigl(\frac{z}{2}\Bigr)^2 = \cos^2(t) + \sin^2(t) = 1.
Isso mostra que, no plano x=1, a curva é uma elipse centrada em (1,0,0) com semi-eixo 1 ao longo de y e semi-eixo 2 ao longo de z.

Passo 4

Para indicar a orientação da elipse, verificamos alguns pontos-chave:
t=0 \implies \vec r(0) = (1,1,0),\quad t=\tfrac{\pi}{2} \implies \vec r\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = (1,0,2),
t=\pi \implies \vec r(\pi) = (1,-1,0),\quad t=\tfrac{3\pi}{2} \implies \vec r\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) = (1,0,-2).
À medida que t cresce de 0 a 2\pi, o ponto percorre a elipse no sentido anti-horário quando visto do lado positivo do eixo x.

Resposta

A curva é a elipse no plano x=1 dada por
x=1,\quad y^2 + \Bigl(\frac{z}{2}\Bigr)^2 = 1,
com semi-eixos de comprimento 1 ao longo de y e 2 ao longo de z, traçada no sentido anti-horário para t\in[0,2\pi].

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