Esboce as curvas cuja equação vetorial é dada abaixo.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica em
O conteúdo aqui é geometria de curvas paramétricas em 3D. Vamos reconhecer que a coordenada
é constante e que as projeções em
e
formam uma elipse no plano
.
Passo 2
Escrevendo as componentes, temos
Como
para todo
, a curva está contida no plano vertical
.
Passo 3
Para obter a equação cartesiana no plano
, eliminamos o parâmetro entre
e
. Usando
, temos
Isso mostra que, no plano
, a curva é uma elipse centrada em
com semi-eixo
ao longo de
e semi-eixo
ao longo de
.
Passo 4
Para indicar a orientação da elipse, verificamos alguns pontos-chave:
À medida que
cresce de
a
, o ponto percorre a elipse no sentido anti-horário quando visto do lado positivo do eixo
.
Resposta
A curva é a elipse no plano
dada por
com semi-eixos de comprimento
ao longo de
e
ao longo de
, traçada no sentido anti-horário para
.