Questão 1 - Calcule os seguintes limites das funções vetoriais a seguir:
\lim _{t \rightarrow+\infty}\left(t e^{-t}\right) \vec{i}+\left(\frac{t^{3}+t}{2 t^{3}-1}\right) \vec{j}+(t \operatorname{sen}(1 / t) \vec{k}).

Passo 1

O enunciado pede o limite, quando t\to+\infty, da função vetorial
\bigl(t e^{-t}\bigr)\vec i \;+\;\bigl(\tfrac{t^{3}+t}{2 t^{3}-1}\bigr)\vec j\;+\;\bigl(t\operatorname{sen}(1/t)\bigr)\vec k.
Para resolver, vamos calcular separadamente o limite de cada componente escalar e depois montar o vetor resultado.

Passo 2

Limite da primeira componente x(t)=t e^{-t}:
sabemos que, para t\to+\infty, a exponencial e^{t} cresce muito mais rápido que qualquer polinômio. Logo
\lim_{t\to+\infty}t e^{-t} =\lim_{t\to+\infty}\frac{t}{e^{t}} =0.

Passo 3

Limite da segunda componente y(t)=\frac{t^{3}+t}{2t^{3}-1}:
dividimos numerador e denominador por t^{3}:
\frac{t^{3}+t}{2t^{3}-1} =\frac{t^{3}\bigl(1+\tfrac1{t^{2}}\bigr)}{t^{3}\bigl(2-\tfrac1{t^{3}}\bigr)} =\frac{1+\tfrac1{t^{2}}}{2-\tfrac1{t^{3}}}.
Ao fazer t\to+\infty, os termos \tfrac1{t^{2}} e \tfrac1{t^{3}} vão a zero, então
\lim_{t\to+\infty}\frac{t^{3}+t}{2t^{3}-1} =\frac{1+0}{2-0} =\tfrac12.

Passo 4

Limite da terceira componente z(t)=t\operatorname{sen}(1/t):
quando t\to+\infty, temos 1/t\to0. E vale o limite notório
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
Fazendo x=1/t, obtemos
t\operatorname{sen}\bigl(1/t\bigr) =\frac{\operatorname{sen}(1/t)}{1/t} \quad\Longrightarrow\quad \lim_{t\to+\infty}t\operatorname{sen}\bigl(1/t\bigr) =1.

Resposta

\lim_{t\to+\infty}\bigl(t e^{-t}\bigr)\vec i+\bigl(\tfrac{t^{3}+t}{2 t^{3}-1}\bigr)\vec j+\bigl(t\operatorname{sen}(1/t)\bigr)\vec k =0\,\vec i+\tfrac12\,\vec j+1\,\vec k.

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