Esboce as curvas cuja equação vetorial é dada abaixo.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica
para
, e pede um esboço da curva no espaço. O conteúdo é “curvas paramétricas em
”, e vamos precisar interpretar componentes, projeções e identificar a superfície ou plano onde a curva está contida.
Passo 2
Separemos as componentes:
O domínio natural é
.
Passo 3
Vejamos a projeção da curva no plano
. Como
e
, teremos
que é a reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes do plano .
que é a reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes do plano
Passo 4
Na reta
, podemos expressar
em função de
. Como
, segue
Portanto, a curva é exatamente o gráfico da parábola
mas “inclinada” no espaço, pois
acompanha
.
Passo 5
Concluímos que a curva está contida no plano
e dentro dele forma uma parábola de equação
Para
a parábola vai para o segundo quadrante do plano
(onde
), e para
ela vai para o primeiro quadrante do mesmo plano.
Passo 6
Para esboçar:
- Desenhe o plano
inclinado a no espaço. - Sobre ele, desenhe a parábola que abre para cima, passando pela origem.
- Indique a orientação da curva com setas crescentes de
: à medida que cresce, você sai da parte negativa e sobe na parábola em direção a com .
Resposta
A curva é uma parábola espacial contida no plano
, dada pela interseção desse plano com o cilindro parabólico
. Ela passa pela origem, abre para cima e está orientada em direção ao aumento de
.