Esboce as curvas cuja equação vetorial é dada abaixo.
\vec{t}(t)=\left(t, t, t^{2}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
\vec{t}(t) = \bigl(x(t),\,y(t),\,z(t)\bigr) = \bigl(t,\,t,\,t^{2}\bigr),
para t\in\mathbb{R}, e pede um esboço da curva no espaço. O conteúdo é “curvas paramétricas em \mathbb{R}^{3}”, e vamos precisar interpretar componentes, projeções e identificar a superfície ou plano onde a curva está contida.

Passo 2

Separemos as componentes:
x(t)=t,\quad y(t)=t,\quad z(t)=t^{2}.
O domínio natural é t\in(-\infty,\infty).

Passo 3

Vejamos a projeção da curva no plano xy. Como x(t)=t e y(t)=t, teremos y=x,
que é a reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes do plano xy.

Passo 4

Na reta y=x, podemos expressar z em função de x. Como t=x, segue
z = t^{2} = x^{2}.
Portanto, a curva é exatamente o gráfico da parábola z=x^{2} mas “inclinada” no espaço, pois y acompanha x.

Passo 5

Concluímos que a curva está contida no plano
y = x
e dentro dele forma uma parábola de equação
z = x^{2}.
Para t<0 a parábola vai para o segundo quadrante do plano y=x (onde x<0,\,y<0), e para t>0 ela vai para o primeiro quadrante do mesmo plano.

Passo 6

Para esboçar:
  1. Desenhe o plano y=x inclinado a 45^\circ no espaço.
  2. Sobre ele, desenhe a parábola que abre para cima, passando pela origem.
  3. Indique a orientação da curva com setas crescentes de t: à medida que t cresce, você sai da parte negativa x<0 e sobe na parábola em direção a (x,y,z) com x>0.

Resposta

A curva é uma parábola espacial contida no plano y=x, dada pela interseção desse plano com o cilindro parabólico z=x^{2}. Ela passa pela origem, abre para cima e está orientada em direção ao aumento de t.

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