Esboce as curvas cuja equação vetorial é dada abaixo.
\vec{r}(t)=\left(\cos ^{2}(t), \operatorname{sen}^{2}(t), t\right).

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva tridimensional dada por \displaystyle \vec r(t)=\bigl(\cos^2(t),\,\operatorname{sen}^2(t),\,t\bigr),
para t\in\mathbb R.
O conteúdo aqui envolve entender a projeção no plano xy (relação entre x e y) e depois ver como o componente z=t levanta essa projeção em altura, produzindo uma curva “ondulada” subindo em z.

Passo 2

Observe a projeção da curva no plano xy. Se chamarmos
x=\cos^2(t), \quad y=\operatorname{sen}^2(t),
temos imediatamente
x+y=\cos^2(t)+\operatorname{sen}^2(t)=1.
Logo, todo ponto (x,y) da projeção satisfaz
x+y=1, \quad 0\le x\le1, \quad 0\le y\le1,
ou seja, a projeção é o segmento de reta que vai de (1,0) até (0,1).

Passo 3

Para ver como o ponto percorre esse segmento, escreva
\cos^2(t)=\frac{1+\cos(2t)}{2}, \quad \operatorname{sen}^2(t)=\frac{1-\cos(2t)}{2}.
Isso mostra que, ao variar t, o par \bigl(x(t),y(t)\bigr) oscila sinusoidalmente entre (1,0) e (0,1) com período \pi.

Passo 4

O componente vertical é
z(t)=t,
ou seja, à medida que t cresce, a curva sobe uniformemente em z.
Combinando: a curva faz vai‐e‐vem entre (1,0) e (0,1) no plano x+y=1, enquanto sobe em z, repetindo esse vai‐e‐vem a cada intervalo de comprimento \pi em z.

Passo 5

Para esboçar:
  1. Desenhe os eixos x,y,z.
  2. Marque a reta de interseção do plano x+y=1 com z=0, ou seja, o segmento de (1,0,0) a (0,1,0).
  3. Em seguida, suba e desenhe uma curva que, em z=0, começa em (1,0,0), vai até (0,1,\pi/2), volta em (1,0,\pi), vai de novo em (0,1,3\pi/2) etc. Fica uma “onda” sobre o segmento, subindo linearmente em z.

Resposta

O esboço é uma curva contida no plano x+y=1 que oscila entre (1,0,z) e (0,1,z) com período \pi em z, produzindo uma “onda” ascendente.

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