Esboce as curvas cuja equação vetorial é dada abaixo.
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva tridimensional dada por
,
para .
O conteúdo aqui envolve entender a projeção no plano (relação entre
e
) e depois ver como o componente
levanta essa projeção em altura, produzindo uma curva “ondulada” subindo em
.
para
O conteúdo aqui envolve entender a projeção no plano
Passo 2
Observe a projeção da curva no plano
. Se chamarmos
temos imediatamente
Logo, todo ponto
da projeção satisfaz
ou seja, a projeção é o segmento de reta que vai de
até
.
Passo 3
Para ver como o ponto percorre esse segmento, escreva
Isso mostra que, ao variar
, o par
oscila sinusoidalmente entre
e
com período
.
Passo 4
O componente vertical é
ou seja, à medida que
cresce, a curva sobe uniformemente em
.
Combinando: a curva faz vai‐e‐vem entre e
no plano
, enquanto sobe em
, repetindo esse vai‐e‐vem a cada intervalo de comprimento
em
.
Combinando: a curva faz vai‐e‐vem entre
Passo 5
Para esboçar:
- Desenhe os eixos
. - Marque a reta de interseção do plano
com , ou seja, o segmento de a . - Em seguida, suba e desenhe uma curva que, em
, começa em , vai até , volta em , vai de novo em etc. Fica uma “onda” sobre o segmento, subindo linearmente em .
Resposta
O esboço é uma curva contida no plano
que oscila entre
e
com período
em
, produzindo uma “onda” ascendente.