Esboce as curvas cuja equação vetorial é dada abaixo.
\vec{r}(t)=\left(\cos (t), \frac{1}{1+t^{2}}, \operatorname{sen}(t)\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a curva vetorial
\vec{r}(t)=\bigl(\cos(t),\,\tfrac{1}{1+t^{2}},\,\sin(t)\bigr),
com t\in\mathbb{R}, e pede para esboçar sua forma no espaço. Vamos usar análise de projeção e estudo do comportamento de cada componente.

Passo 2

Analisando as componentes x(t)=\cos(t) e z(t)=\sin(t), vemos que para todo t vale
x(t)^{2}+z(t)^{2}=\cos^{2}(t)+\sin^{2}(t)=1.
Isto significa que a projeção da curva no plano xz é o círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

A componente vertical é
y(t)=\frac{1}{1+t^{2}}.
Note que y(0)=1 (valor máximo) e \displaystyle\lim_{t\to\pm\infty}y(t)=0. Ou seja, à medida que |t| cresce, a curva se aproxima do plano y=0.

Passo 4

Juntando as duas observações, a curva fica “enrolada” em torno do eixo y (pois projeta num círculo no plano xz) enquanto desce de y=1 em t=0 até quase y=0 quando |t|\to\infty. Para t>0 ela desce dando voltas e para t<0 faz o mesmo simetricamente.

Passo 5

O esboço final é uma hélice circular de raio 1 em torno do eixo y, começando em \bigl(1,1,0\bigr) para t=0 e enrolando-se indefinidamente à medida que y decresce de 1 a 0, aproximando-se do círculo \{x^{2}+z^{2}=1,\;y=0\}.

Resposta

A curva é uma hélice circular de raio 1 em torno do eixo y, partindo de (1,1,0) em t=0 e descendo em voltas infinitas até y=0 conforme |t|\to\infty.

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