Questão 8 - Calcule a integral das seguintes funções vetoriais:
\int_{0}^{3} t^{2} \vec{i}+t \vec{j}+2 \vec{k} d t.

Passo 1

O enunciado pede a integral de
\int_{0}^{3}\bigl(t^{2}\vec{i}+t\vec{j}+2\vec{k}\bigr)\,dt.
O conteúdo usado é integração de funções vetoriais, que consiste em integrar cada componente separadamente.

Passo 2

Separamos a integral em três partes, uma para cada componente do vetor:
\int_{0}^{3}t^{2}\vec{i}\,dt = \vec{i}\int_{0}^{3}t^{2}\,dt,
\int_{0}^{3}t\vec{j}\,dt = \vec{j}\int_{0}^{3}t\,dt,
\int_{0}^{3}2\vec{k}\,dt = \vec{k}\int_{0}^{3}2\,dt.

Passo 3

Agora, calculamos cada integral escalar usando a regra \int t^{n}\,dt = \tfrac{t^{n+1}}{n+1}:
\int_{0}^{3}t^{2}\,dt = \left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{3} = \frac{27}{3} = 9,
\int_{0}^{3}t\,dt = \left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{3} = \frac{9}{2},
\int_{0}^{3}2\,dt = \left[2t\right]_{0}^{3} = 6.

Passo 4

Juntando tudo, a integral vetorial fica
9\,\vec{i} + \frac{9}{2}\,\vec{j} + 6\,\vec{k}.

Resposta

\int_{0}^{3}\bigl(t^{2}\vec{i}+t\vec{j}+2\vec{k}\bigr)\,dt = 9\,\vec{i} + \frac{9}{2}\,\vec{j} + 6\,\vec{k}.

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