Esboce as curvas de nível de f para alguns valores dados de k .
f(x, y)=9-x^{2}-y^{2}, \quad k=0,2,4,6,8

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas de nível da função f(x,y)=9-x^{2}-y^{2} para os valores de k dados: k=0,2,4,6,8.
As informações relevantes que temos são:
  • A função é f(x,y)=9-x^{2}-y^{2}.
  • Para cada valor k dado devemos considerar o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem f(x,y)=k.
  • Os valores pedidos são k=0, k=2, k=4, k=6 e k=8.

Passo 2

O que é uma curva de nível (explicação didática):
  • Para uma função de duas variáveis f(x,y), a curva de nível de valor k é o conjunto de todos os pontos (x,y) no plano tal que f(x,y)=k.
  • Em termos práticos, isto é uma equação em x e y que descreve uma curva. Na prova você reconhece o tipo de curva (reta, circunferência, parábola, …) pela forma dessa equação.
  • Nesta questão vamos formar a equação f(x,y)=k e identificar a curva resultante.

Passo 3

Formule a equação geral das curvas de nível:
Partimos de
f(x,y)=9-x^{2}-y^{2}=k.
Isolando os termos quadráticos obtemos
x^{2}+y^{2}=9-k.
Aqui cada símbolo significa:
  • x e y são as coordenadas no plano;
  • k é o nível (constante) que fixa a curva;
  • x^{2}+y^{2} é a soma dos quadrados das coordenadas, que descreve distância ao quadrado ao origem.

Passo 4

Interpretação geométrica da equação x^{2}+y^{2}=9-k:
  • Se 9-k>0, a equação é a de uma circunferência centrada na origem (0,0) com raio
r=\sqrt{9-k}.
  • Se 9-k=0, a curva de nível é o único ponto (0,0) (uma “circunferência” de raio zero).
  • Se 9-k<0, não existem pontos reais que satisfaçam a equação (conjunto vazio).
    Observação intuitiva: quanto maior k, menor é 9-k e, portanto, menor o raio da circunferência. O valor máximo de f é f(0,0)=9; para k>9 não há curva de nível.

Passo 5

Calcule explicitamente para cada k pedido e dê os raios numéricos (passo a passo aritmético):
  • Para k=0: calcular 9-k=9-0=9. Então
x^{2}+y^{2}=9,
o que é uma circunferência centrada em (0,0) com raio
r=\sqrt{9}=3.
  • Para k=2: calcular 9-k=9-2=7. Então
x^{2}+y^{2}=7,
raio
r=\sqrt{7}\approx2{,}646.
  • Para k=4: calcular 9-k=9-4=5. Então
x^{2}+y^{2}=5,
raio
r=\sqrt{5}\approx2{,}236.
  • Para k=6: calcular 9-k=9-6=3. Então
x^{2}+y^{2}=3,
raio
r=\sqrt{3}\approx1{,}732.
  • Para k=8: calcular 9-k=9-8=1. Então
x^{2}+y^{2}=1,
raio
r=\sqrt{1}=1.

Passo 6

Como esboçar (instruções práticas e truques para a prova):
  1. Desenhe sistemas de eixos x e y com origem no centro da folha.
  2. Marque uma escala (por exemplo, uma unidade do eixo corresponde a 1 cm).
  3. Marque no eixo as distâncias 1, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, 3 (pelo menos os valores 1, 2 e 3 e estimar os intermediários é suficiente).
  4. Desenhe circunferências concêntricas centradas na origem com raios na ordem: r=3 (maior), r=\sqrt{7}, r=\sqrt{5}, r=\sqrt{3}, r=1 (menor). Use lápis fraco para as menores antes das maiores se quiser.
  5. Indique em cada circunferência o valor de k correspondente (por exemplo, escreva k=0 ao lado da circunferência de raio 3, etc.).
    Dica: as curvas são todas círculos concêntricos; para k maior as curvas ficam mais próximas do centro.

Passo 7

Observações finais (intuitivas e úteis na prova):
  • O ponto de máximo de f é a origem com f(0,0)=9. À medida que se afasta da origem x^{2}+y^{2} aumenta e f diminui, por isso níveis menores correspondem a círculos maiores.
  • Para k>9 não existe curva de nível (conjunto vazio).
  • Esse tipo de função é radial (depende apenas de x^{2}+y^{2}), então suas curvas de nível são sempre círculos centrados na origem.

Resposta

k=0:\\ x^{2}+y^{2}=9 (raio r=3)
k=2:\\ x^{2}+y^{2}=7 (raio r=\sqrt{7}\approx2{,}646)
k=4:\\ x^{2}+y^{2}=5 (raio r=\sqrt{5}\approx2{,}236)
k=6:\\ x^{2}+y^{2}=3 (raio r=\sqrt{3}\approx1{,}732)
k=8:\\ x^{2}+y^{2}=1 (raio r=1)

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