Esboce as curvas de nível de
para alguns valores dados de k .
Passo 1
O enunciado pede para esboçar as curvas de nível da função
para os valores de
dados:
.
As informações relevantes que temos são:
As informações relevantes que temos são:
- A função é
. - Para cada valor
dado devemos considerar o conjunto de pontos que satisfazem . - Os valores pedidos são
, , , e .
Passo 2
O que é uma curva de nível (explicação didática):
- Para uma função de duas variáveis
, a curva de nível de valor é o conjunto de todos os pontos no plano tal que . - Em termos práticos, isto é uma equação em
e que descreve uma curva. Na prova você reconhece o tipo de curva (reta, circunferência, parábola, …) pela forma dessa equação. - Nesta questão vamos formar a equação
e identificar a curva resultante.
Passo 3
Formule a equação geral das curvas de nível:
Partimos de
Partimos de
Isolando os termos quadráticos obtemos
Aqui cada símbolo significa:
-
e são as coordenadas no plano; -
é o nível (constante) que fixa a curva; -
é a soma dos quadrados das coordenadas, que descreve distância ao quadrado ao origem.
Passo 4
Interpretação geométrica da equação
:
- Se
, a equação é a de uma circunferência centrada na origem com raio
- Se
, a curva de nível é o único ponto (uma “circunferência” de raio zero). - Se
, não existem pontos reais que satisfaçam a equação (conjunto vazio).
Observação intuitiva: quanto maior, menor é e, portanto, menor o raio da circunferência. O valor máximo de é ; para não há curva de nível.
Passo 5
Calcule explicitamente para cada
pedido e dê os raios numéricos (passo a passo aritmético):
- Para
: calcular . Então
o que é uma circunferência centrada em
com raio
- Para
: calcular . Então
raio
- Para
: calcular . Então
raio
- Para
: calcular . Então
raio
- Para
: calcular . Então
raio
Passo 6
Como esboçar (instruções práticas e truques para a prova):
- Desenhe sistemas de eixos
e com origem no centro da folha. - Marque uma escala (por exemplo, uma unidade do eixo corresponde a 1 cm).
- Marque no eixo as distâncias
, , , , (pelo menos os valores , e e estimar os intermediários é suficiente). - Desenhe circunferências concêntricas centradas na origem com raios na ordem:
(maior), , , , (menor). Use lápis fraco para as menores antes das maiores se quiser. - Indique em cada circunferência o valor de
correspondente (por exemplo, escreva ao lado da circunferência de raio , etc.).
Dica: as curvas são todas círculos concêntricos; paramaior as curvas ficam mais próximas do centro.
Passo 7
Observações finais (intuitivas e úteis na prova):
- O ponto de máximo de
é a origem com . À medida que se afasta da origem aumenta e diminui, por isso níveis menores correspondem a círculos maiores. - Para
não existe curva de nível (conjunto vazio). - Esse tipo de função é radial (depende apenas de
), então suas curvas de nível são sempre círculos centrados na origem.