Esboce as curvas de nível de f para os valores dados de k :
f(x, y)=x y ; k=-4 ; 1 ; 4

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas de nível de
f(x,y)=xy
para os valores de k=-4, k=1 e k=4.
Curvas de nível são os conjuntos
(x,y)mid f(x,y)=k,
ou seja, as equações implícitas que mantêm xy=k.

Passo 2

Para encontrar cada curva, escrevemos
xy=k
e isolamos y:
y = kx
Isso é a equação de uma hipérbole com assíntotas nos eixos x=0 e y=0.

Passo 3

Analisando o sinal de k:
  • Se k>0, a hipérbole está nos quadrantes I ( x>0,y>0) e III ( x<0,y<0).
  • Se k<0, aparece nos quadrantes II ( x<0,y>0) e IV ( x>0,y<0).

Passo 4

Caracterização para cada k:
  • k=1: curva y=1/x. Para xto0^+, yto+infty; para xto+infty, yto0^+. Ramo espelhado em III.
  • k=4: curva y=4/x. Mesma forma de y=1/x mas “esticada”: em cada x>0, y é quatro vezes maior que no caso k=1. Ramo espelhado em III.
  • k=-4: curva y=-4/x. Igual a y=4/x mas com sinal trocado, de modo que os ramos aparecem em II e IV.

Resposta

As curvas de nível são as hipérboles
xy=1, xy=4, xy=-4,
respectivamente desenhadas em
  • quadrantes I e III para k=1 e k=4,
  • quadrantes II e IV para k=-4.

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