Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^prime prime+2 y^prime+y=0, y(0)=1, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, o problema de valor inicial
y'' + 2y' + y = 0, y(0)=1,;y'(0)=1
Este é um EDO linear homogêneo de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos aplicar a transformada de Laplace a cada termo para converter tudo em uma equação algébrica em Y(s)=Ly(t).

Passo 2

Tomando transformada de Laplace em ambos os lados de
y''(t) + 2y'(t) + y(t) = 0
e usando
Ly''(t) = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0), Ly'(t) = s,Y(s) - y(0), Ly(t) = Y(s),
obtemos
l(s^2Y(s) - scdot1 - 1r) +2l(sY(s) - 1r) +Y(s) =0

Passo 3

Agrupando termos em Y(s) e constantes, temos
s^2Y(s) - s - 1 + 2sY(s) - 2 + Y(s) = 0 ;Longrightarrow; (s^2 + 2s + 1)Y(s) = s + 3
Logo
Y(s) = s+3s^2 + 2s + 1 = s+3(s+1)^2

Passo 4

Para inverter, escrevemos
Y(s) = s+1(s+1)^2 + 2(s+1)^2 = 1s+1 + 2cdot1(s+1)^2
Sabendo que
L^-1!ltfrac1s+1r = e^-t, L^-1!ltfrac1(s+1)^2r = t,e^-t,
temos
y(t) = e^-t + 2,t,e^-t = (1 + 2t),e^-t

Passo 5

Verificando as condições iniciais: y(0)=(1+0)e^0=1 e y'(t) = - (1+2t)e^-t + 2e^-t = (1 - 2t),e^-t, logo y'(0)=1. Tudo confere.

Resposta

y(t) = (1 + 2t),e^-t

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