Use a transformação dada para calcular a integral.
integral duplaR(3 x+4 y) d A, onde R é a região limitada pelas retas y=x, y=x-2, y=-2 x e y=3-2 x; x=13(u+v), y=13(v-2 u)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A questão pede para calcular a integral integral duplaR(3x + 4y) , dA, onde a região R é delimitada por quatro retas: y = x, y = x - 2, y = -2x e y = 3 - 2x. Além disso, temos uma transformação para facilitar o cálculo:
x = 13(u + v), y = 13(v - 2u)
Vamos precisar usar conceitos de mudança de variáveis em integrais múltiplas, entender como transformar a região R para coordenadas u e v, e calcular o determinante jacobiano dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação que foi dada. Temos:
x = 13(u + v) e y = 13(v - 2u)
Isso significa que estamos mudando as coordenadas de (x, y) para (u, v). Para facilitar, vamos reescrever isso de forma mais simples:
x = u + v3, y = v - 2u3

Passo 3

Agora, precisamos entender como essa transformação afeta a região R. Para isso, vamos transformar as equações das retas que delimitam R para o novo sistema de coordenadas (u, v).
Começando com a reta y = x:
v - 2u3 = u + v3 implies v - 2u = u + v implies -3u = 0 implies u = 0
Fizemos isso igualando as expressões de y e x na transformação.
Vamos fazer o mesmo para as outras retas.
Para y = x - 2:
v - 2u3 = u + v3 - 2 implies v - 2u = u + v - 6 implies -3u = -6 implies u = 2
Para y = -2x:
v - 2u3 = -2 cdot u + v3 implies v - 2u = -2u - 2v implies 3v = 0 implies v = 0
E para y = 3 - 2x:
v - 2u3 = 3 - 2 cdot u + v3 implies v - 2u = 9 - 2u - 2v implies 3v = 9 implies v = 3
Então, as retas no sistema (u, v) são:
  • u = 0
  • u = 2
  • v = 0
  • v = 3

Passo 4

Agora que já sabemos as novas fronteiras da região R em termos de u e v, podemos desenhar ou imaginar que a região transformada é um retângulo no plano uv com u variando de 0 a 2 e v de 0 a 3.

Passo 5

Antes de montar a nova integral, precisamos calcular o determinante jacobiano da transformação. O jacobiano nos ajuda a ajustar a área na mudança de coordenadas.
A transformação é dada por:
x = u + v3, y = v - 2u3
O jacobiano J é:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
Calculando as derivadas parciais:
partial xpartial u = 13, partial xpartial v = 13
partial ypartial u = -23, partial ypartial v = 13
Então,
J = 13 & 13 -23 & 13 = (13 cdot 13) - (13 cdot -23) = 19 + 29 = 39 = 13
Então, o determinante jacobiano é 13.

Passo 6

Agora, vamos expressar o integrando 3x + 4y em termos de u e v usando as transformações:
x = u + v3, y = v - 2u3
Substituindo:
3x + 4y = 3(u + v3) + 4(v - 2u3) = (u + v) + 4v - 8u3 = 3u + 3v + 4v - 8u3 = -5u + 7v3

Passo 7

Agora, montamos a integral transformada. Lembrando que a região R no plano uv é 0 <= u <= 2 e 0 <= v <= 3, e que precisamos multiplicar pelo valor absoluto do jacobiano, que é 13.
Então, a integral fica:
integral duplaR(3x + 4y) , dA = integral0^2 integral0^3 (-5u + 7v3) cdot 13 , dv , du = integral0^2 integral0^3 -5u + 7v9 , dv , du

Passo 8

Vamos integrar primeiro em relação a v:
integral0^3 -5u + 7v9 , dv = 19 [ -5u v + 72v^2 ]0^3 = 19 ( -5u cdot 3 + 72 cdot 9 ) = 19 (-15u + 31.5) = -15u + 31.59 = -5u3 + 3.5

Passo 9

Agora, integramos o resultado acima em relação a u:
integral0^2 ( -5u3 + 3.5 ) , du = -53 cdot u^22 + 3.5u |0^2 = -56 cdot 4 + 7 = -206 + 7 = -103 + 7 = -10 + 213 = 113

Resposta

A integral vale 113.

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