Use a transformação dada para calcular a integral. , onde é a região limitada pelas retas e ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A questão pede para calcular a integral , onde a região é delimitada por quatro retas: , , e . Além disso, temos uma transformação para facilitar o cálculo:
Vamos precisar usar conceitos de mudança de variáveis em integrais múltiplas, entender como transformar a região para coordenadas e , e calcular o determinante jacobiano dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a transformação que foi dada. Temos:
Isso significa que estamos mudando as coordenadas de para . Para facilitar, vamos reescrever isso de forma mais simples:
Passo 3
Agora, precisamos entender como essa transformação afeta a região . Para isso, vamos transformar as equações das retas que delimitam para o novo sistema de coordenadas .
Começando com a reta :
Fizemos isso igualando as expressões de e na transformação.
Vamos fazer o mesmo para as outras retas.
Para :
Para :
E para :
Então, as retas no sistema são:
Passo 4
Agora que já sabemos as novas fronteiras da região em termos de e , podemos desenhar ou imaginar que a região transformada é um retângulo no plano com variando de a e de a .
Passo 5
Antes de montar a nova integral, precisamos calcular o determinante jacobiano da transformação. O jacobiano nos ajuda a ajustar a área na mudança de coordenadas.
Agora, montamos a integral transformada. Lembrando que a região R no plano uv é 0 <= u <= 2 e 0 <= v <= 3, e que precisamos multiplicar pelo valor absoluto do jacobiano, que é 13.
Então, a integral fica:
integral duplaR(3x + 4y) , dA = integral0^2 integral0^3 (-5u + 7v3) cdot 13 , dv , du = integral0^2 integral0^3 -5u + 7v9 , dv , du