Seja
uma função diferenciável e
uma função escalar diferenciável. Mostre que
(Regra da cadeia para a diferenciação de funções vetoriais)
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função vetorial
diferenciável em
e uma função escalar
diferenciável em
. O objetivo é provar a regra da cadeia para funções vetoriais, ou seja, que
Passo 2
Pela definição de derivada em relação a
, escrevemos
Agora definimos o incremento
de modo que
Passo 3
Como
é diferenciável, quando
temos
e
enquanto
Pela propriedade do limite do produto, concluímos que