Seja v=v(s) uma função diferenciável e s=s(t) uma função escalar diferenciável. Mostre que
d vd t=d vd s d sd t
(Regra da cadeia para a diferenciação de funções vetoriais)

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função vetorial vec v=vec v(s) diferenciável em s e uma função escalar s=s(t) diferenciável em t. O objetivo é provar a regra da cadeia para funções vetoriais, ou seja, que
dvec vdt ;=;dvec vds;dsdt

Passo 2

Pela definição de derivada em relação a t, escrevemos
dvec vdt =limDe<a tto0vec vl(s(t+De<a t)r)-vec vl(s(t)r)De<a t
Agora definimos o incremento
De<a s = s(t+De<a t)-s(t),
de modo que
vec vl(s(t+De<a t)r)-vec vl(s(t)r)De<a t = vec vl(s(t)+De<a sr)-vec vl(s(t)r)De<a s ;times; De<a sDe<a t

Passo 3

Como s(t) é diferenciável, quando De<a tto0 temos De<a sto0 e
limDe<a sto0vec vl(s(t)+De<a sr)-vec vl(s(t)r)De<a s =dvec vds,
enquanto
limDe<a tto0De<a sDe<a t =limDe<a tto0s(t+De<a t)-s(t)De<a t =dsdt
Pela propriedade do limite do produto, concluímos que
dvec vdt =dvec vds;dsdt

Resposta

dvec vdt=dvec vds,dsdt

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