Esboce as curvas de nível de f(x, y) para os valores dados de k :
f(x, y)=y csc (x), k=-2,-1,0,1,2

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível de
f(x,y)=ycsc(x)
correspondentes aos valores de k=-2,-1,0,1,2.
O conteúdo é “equações de nível” de uma função de duas variáveis, e vamos precisar resolver
f(x,y)=k
para cada k, identificando a curva resultante no plano (x,y).

Passo 2

Para cada nível k resolvemos
ycsc(x)=k
ou seja
y = k,sin(x),
com a restrição de domínio
xneq npi, ninZ,
pois csc(x)=1/sin(x) não está definida quando sin(x)=0.

Passo 3

A equação
y = k,sin(x)
é um “seno” de amplitude |k| e período 2pi.
  • Para k=0 obtemos a reta y=0.
  • Para k=1 ou k=2 temos ondas senoidais de amplitude 1 ou 2, respectivamente, cruzando o eixo x em x=npi.
  • Para k=-1 ou k=-2 as ondas são invertidas (amplitude |-1|=1 e |-2|=2).
No esboço, todas as curvas passam por zero em x=npi e alcançam y=k nos picos ( x=pi/2+2npi) e y=-k nos vales ( x=3pi/2+2npi).

Resposta

As curvas de nível são dadas por
y = k,sin(x),
para cada kin-2,-1,0,1,2, com xneq npi.

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