Esboce as curvas de nível
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos as curvas de nível da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente de análise de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função
é o conjunto de pontos
que satisfazem
, onde
é uma constante. Basicamente, é onde a função assume o mesmo valor.
Passo 3
Então, para nossa função
, vamos igualar a
:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para
em função de
:
Passo 5
Agora, vamos analisar como essas curvas se comportam para diferentes valores de
:
-
Se
: A expressão dentro da raiz quadrada precisa ser positiva, ou seja, , o que implica . As curvas serão parábolas abertas verticalmente dentro do intervalo . -
Se
: A expressão precisa ser negativa, já que é negativo. Então, . Nesse caso, também teremos parábolas, mas fora do intervalo . -
Se
: A equação implica , ou seja, . Essas serão linhas verticais nos pontos e .
Passo 6
Com base nisso, podemos esboçar as curvas de nível para diferentes valores de
:
- Para
: , que são semicircunferências com raio 1. - Para
: Semelhante, mas com raio aumentando. - Para
: Parabólicas fora de . - E assim por diante.
Resposta
As curvas de nível da função
são semicircunferências quando
, localizadas dentro de
, e parábolas quando
, localizadas fora de
. Além disso, para
, as curvas de nível são as linhas verticais
e
.