Esboce as curvas de nível
f(x, y)=1-x^2y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos as curvas de nível da função . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente de análise de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função é o conjunto de pontos que satisfazem , onde é uma constante. Basicamente, é onde a função assume o mesmo valor.

Passo 3

Então, para nossa função 1 - x^2y^2 = c , vamos igualar a :

Passo 4

Vamos resolver essa equação para y^2 = 1 - x^2c implies y = pm raiz1 - x^2c em função de :

Passo 5

Agora, vamos analisar como essas curvas se comportam para diferentes valores de :
  • Se : A expressão dentro da raiz quadrada precisa ser positiva, ou seja, , o que implica . As curvas serão parábolas abertas verticalmente dentro do intervalo .
  • Se : A expressão precisa ser negativa, já que é negativo. Então, . Nesse caso, também teremos parábolas, mas fora do intervalo .
  • Se : A equação implica , ou seja, . Essas serão linhas verticais nos pontos e .

Passo 6

Com base nisso, podemos esboçar as curvas de nível para diferentes valores de :
  • Para : , que são semicircunferências com raio 1.
  • Para : Semelhante, mas com raio aumentando.
  • Para : Parabólicas fora de .
  • E assim por diante.

Resposta

As curvas de nível da função são semicircunferências quando , localizadas dentro de , e parábolas quando , localizadas fora de . Além disso, para , as curvas de nível são as linhas verticais e .

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