Exercício 5. Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial ao transportar uma partícula pela trajetória indicada.
(b) F(x, y) = (9x^2, 3y^2 + 2) ao mover uma partícula ao longo de uma trajetória elíptica do ponto (0,0) ao ponto 1,1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho realizado por um campo vetorial quando movimentamos uma partícula ao longo de uma trajetória elíptica do ponto (0,0) até o ponto 1,1. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais de linha no contexto de campos vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho através de integrais de linha e verificar se o campo é conservativo, o que simplifica bastante a nossa vida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa trabalho realizado por um campo vetorial. O trabalho é dado pela integral de linha do campo ao longo da trajetória. Matematicamente, isso é representado por:
Aqui, F é o campo vetorial e C é a trajetória.

Passo 3

Nosso campo vetorial é . Antes de começar a parametrizar a trajetória, é uma boa prática verificar se o campo é conservativo. Se for, podemos usar uma função potencial para facilitar o cálculo.

Passo 4

Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial f(x, y) tal que . Além disso, para campos conservativos, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não da trajetória.
Vamos verificar se nosso campo é conservativo calculando as derivadas parciais:
Como , o campo é conservativo.

Passo 5

Agora, encontramos a função potencial f(x, y) tal que:
Integrando em relação a x, temos:
Agora, derivamos f(x, y) em relação a y e igualamos a :
Integrando em relação a y, obtemos:
Assim, a função potencial é:
Como a constante C não afeta o cálculo do trabalho, podemos ignorá-la.

Passo 6

Agora que temos a função potencial, o trabalho realizado pelo campo ao mover a partícula dos pontos (0,0) até 1,1 é dado pela diferença dos valores da função potencial nesses pontos:
Calculando f(1,1):
Calculando f(0, 0):

Resposta

O trabalho realizado pelo campo vetorial é unidades de trabalho.

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