Exercício 5. Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial ao transportar uma partícula pela trajetória indicada.
(b)
ao mover uma partícula ao longo de uma trajetória elíptica do ponto
ao ponto
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho realizado por um campo vetorial quando movimentamos uma partícula ao longo de uma trajetória elíptica do ponto
até o ponto
. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais de linha no contexto de campos vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho através de integrais de linha e verificar se o campo é conservativo, o que simplifica bastante a nossa vida.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa trabalho realizado por um campo vetorial. O trabalho é dado pela integral de linha do campo ao longo da trajetória. Matematicamente, isso é representado por:
Aqui,
é o campo vetorial e
é a trajetória.
Passo 3
Nosso campo vetorial é
. Antes de começar a parametrizar a trajetória, é uma boa prática verificar se o campo é conservativo. Se for, podemos usar uma função potencial para facilitar o cálculo.
Passo 4
Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Além disso, para campos conservativos, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não da trajetória.
Vamos verificar se nosso campo é conservativo calculando as derivadas parciais:
Como
, o campo é conservativo.
Passo 5
Agora, encontramos a função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
, temos:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando
em relação a
, obtemos:
Assim, a função potencial é:
Como a constante
não afeta o cálculo do trabalho, podemos ignorá-la.
Passo 6
Agora que temos a função potencial, o trabalho realizado pelo campo ao mover a partícula dos pontos
até
é dado pela diferença dos valores da função potencial nesses pontos:
Calculando
:
Calculando
:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo vetorial é
unidades de trabalho.