Exercício 5. Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial ao transportar uma partícula pela trajetória indicada.
(a) F(x, y)=(2 y^3 cos (2 x)+y sen(x)+y^2) i+(3 y^2 sen(2 x)-cos (x)+2 x y-1) j ao longo do caminho gamma(t)=(pi+t, 2+cos t), t in[0, pi / 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 5(a) que pede para calcular o trabalho realizado por um campo vetorial específico ao transportar uma partícula ao longo de uma trajetória dada. Aqui, estamos lidando com trabalho de um campo vetorial e integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de um caminho parametrizado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é trabalho realizado por um campo vetorial. O trabalho W = integrala^b F(gamma(t)) cdot gamma'(t) , dt realizado pelo campo ao longo de uma trajetória de até é dado por:
Aqui, é a parametrização do caminho, e é a derivada dessa parametrização em relação a .

Passo 3

Vamos identificar a parametrização do caminho gamma(t) = (pi + t, 2 + cos t), t in [0, pi2] e seus limites:
gamma'(t) = ( ddt (pi + t), ddt (2 + cos t) ) = (1, -sin t)
Agora, vamos calcular a derivada :

Passo 4

Em seguida, substituímos F(gamma(t)) = (2 (2 + cos t)^3 cos(2 (pi + t)) + (2 + cos t) sen(pi + t) + (2 + cos t)^2) i + (3 (2 + cos t)^2 sen(2 (pi + t)) - cos(pi + t) + 2 (pi + t)(2 + cos t) - 1) j na função :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F(gamma(t)) cdot gamma'(t) = [2 (2 + cos t)^3 cos(2pi + 2t) + (2 + cos t) sen(pi + t) + (2 + cos t)^2] cdot 1 + [3 (2 + cos t)^2 sen(2pi + 2t) - cos(pi + t) + 2 (pi + t)(2 + cos t) - 1] cdot (-sin t) :
Simplificando as funções trigonométricas utilizando identidades:
cos(2pi + 2t) = cos(2t)
sen(pi + t) = -sen t
Substituindo essas simplificações:

Passo 6

Agora, montar a integral para calcular o trabalho:

Passo 7

Para resolver essa integral, podemos utilizar métodos de integração numérica ou verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for conservativo, o trabalho pode ser calculado usando uma função potencial, o que simplifica bastante os cálculos.

Passo 8

Vamos verificar se o campo partial Ppartial y = partial Qpartial x é conservativo. Um campo vetorial partial Ppartial y = 6 y^2 cos(2x) + sen(x) + 2y é conservativo se satisfizer a condição:
partial Qpartial x = 6 y^2 cos(2x) + sen(x) + 2y
Calculando as derivadas parciais:
Como , o campo é conservativo.

Passo 9

Como W = phi(x(b), y(b)) - phi(x(a), y(a)) é conservativo, existe uma função potencial phi(x, y) = integral P , dx = integral (2 y^3 cos(2x) + y sen(x) + y^2) dx tal que phi(x, y) = y^3 ( sen(2x)1 ) + y (-cos x) + y^2 x + h(y) . O trabalho é então dado por:
partial phipartial y = 3 y^2 sen(2x) - cos x + 2xy + h'(y) = Q = 3 y^2 sen(2x) - cos x + 2xy - 1
Vamos encontrar phi(x, y) = y^3 sen(2x) - y cos x + y^2 x - y + C integrando em relação a :
Derivando em relação a e igualando a :
Comparando, temos , então . Portanto, a função potencial é:

Passo 10

Agora, calculamos gamma(0) = (pi + 0, 2 + cos 0) = (pi, 3) nos pontos finais da trajetória phi(pi, 3) = 3^3 sen(2pi) - 3 cos pi + 3^2 pi - 3 = 27 cdot 0 - 3(-1) + 9pi - 3 = 0 + 3 + 9pi - 3 = 9pi :
Para gamma(pi2) = (pi + pi2, 2 + cos pi2) = (3pi2, 2) :
phi(3pi2, 2) = 2^3 sen(2 cdot 3pi2) - 2 cos 3pi2 + 2^2 cdot 3pi2 - 2
Para = 8 sen(3pi) - 2 cdot 0 + 4 cdot 3pi2 - 2 = 8 cdot 0 - 0 + 6pi - 2 = 6pi - 2 :

Resposta

Portanto, o trabalho realizado pelo campo vetorial ao transportar a partícula ao longo da trajetória indicada é:
W = phi(3pi2, 2) - phi(pi, 3) = (6pi - 2) - 9pi = -3pi - 2

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