Exercício 5. Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial ao transportar uma partícula pela trajetória indicada.
(a)
ao longo do caminho
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 5(a) que pede para calcular o trabalho realizado por um campo vetorial específico ao transportar uma partícula ao longo de uma trajetória dada. Aqui, estamos lidando com trabalho de um campo vetorial e integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de um caminho parametrizado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é trabalho realizado por um campo vetorial. O trabalho
realizado pelo campo
ao longo de uma trajetória
de
até
é dado por:
Aqui,
é a parametrização do caminho, e
é a derivada dessa parametrização em relação a
.
Passo 3
Vamos identificar a parametrização do caminho
e seus limites:
Agora, vamos calcular a derivada
:
Passo 4
Em seguida, substituímos
na função
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Simplificando as funções trigonométricas utilizando identidades:
Substituindo essas simplificações:
Passo 6
Agora, montar a integral para calcular o trabalho:
Passo 7
Para resolver essa integral, podemos utilizar métodos de integração numérica ou verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for conservativo, o trabalho pode ser calculado usando uma função potencial, o que simplifica bastante os cálculos.
Passo 8
Vamos verificar se o campo
é conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se satisfizer a condição:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 9
Como
é conservativo, existe uma função potencial
tal que
. O trabalho é então dado por:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Derivando
em relação a
e igualando a
:
Comparando, temos
, então
. Portanto, a função potencial é:
Passo 10
Agora, calculamos
nos pontos finais da trajetória
:
Para
:
Para
:
Resposta
Portanto, o trabalho realizado pelo campo vetorial ao transportar a partícula ao longo da trajetória indicada é: