Mostre que as soluções não triviais y(t) das seguintes equações
y^prime prime-8 y^prime+16 y=0
são tais que
lim t -infty y(t)=0 e lim t infty y(t)= pm infty
O que se pode dizer do comportamento das soluções não triviais de y^prime prime-2 y^prime+5 y=0 quando t pm infty ?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o comportamento assintótico, para ttopminfty, das soluções não triviais das duas EDOs lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-8y'+16y=0
e
y''-2y'+5y=0
O que vamos usar é (1) a equação característica para obter a solução geral e (2) o crescimento ou decaimento de exponenciais e termos oscilatórios para tirar os limites.

Passo 2

Para
y''-8y'+16y=0
a equação característica é
r^2-8r+16=0Longrightarrow(r-4)^2=0,
ou seja, raiz dupla r=4. Logo a solução geral é
y(t)=l(C1+C2,tr)e^4t,
com C1,C2 constantes, não ambas nulas.

Passo 3

Analisando
y(t)=l(C1+C2,tr)e^4t,
quando tto-infty temos e^4tto0 e t,e^4tto0, logo
limtto-inftyy(t)=0
Quando tto+infty o fator e^4t domina e faz l(C1+C2tr)e^4ttopminfty (o sinal depende dos sinais de C1,C2 e de t grande). Portanto
limtto+inftyy(t)=pminfty

Passo 4

Para
y''-2y'+5y=0
a característica é
r^2-2r+5=0Longrightarrow r=1pm2i
Daí a solução geral é
y(t)=e^tl(Acos(2t)+Bsin(2t)r),
com A,B constantes não simultaneamente nulos.

Passo 5

Em
y(t)=e^tl(Acos2t+Bsin2tr),
o fator e^t controla o crescimento ou decaimento da amplitude. Para tto-infty temos e^tto0 e o termo trigonométrico é limitado, logo
limtto-inftyy(t)=0
Para tto+infty, e^tto+infty enquanto cos2t e sin2t oscilam entre -1 e 1, então a solução oscila com amplitude crescendo exponencialmente, de modo que |y(t)|to+infty.

Resposta

As soluções não triviais de y''-8y'+16y=0 satisfazem
limtto-inftyy(t)=0, limtto+inftyy(t)=pminfty
As soluções não triviais de y''-2y'+5y=0 satisfazem
limtto-inftyy(t)=0,
e para tto+infty têm comportamento oscilatório de amplitude que cresce como e^t, isto é, lvert y(t)rvertto+infty.

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