Mostre que as soluções não triviais
das seguintes equações
são tais que
O que se pode dizer do comportamento das soluções não triviais de
quando
?
são tais que
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o comportamento assintótico, para
, das soluções não triviais das duas EDOs lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes
e
O que vamos usar é (1) a equação característica para obter a solução geral e (2) o crescimento ou decaimento de exponenciais e termos oscilatórios para tirar os limites.
Passo 2
Para
a equação característica é
ou seja, raiz dupla
. Logo a solução geral é
com
constantes, não ambas nulas.
Passo 3
Analisando
quando
temos
e
, logo
Quando
o fator
domina e faz
(o sinal depende dos sinais de
e de
grande). Portanto
Passo 4
Para
a característica é
Daí a solução geral é
com
constantes não simultaneamente nulos.
Passo 5
Em
o fator
controla o crescimento ou decaimento da amplitude. Para
temos
e o termo trigonométrico é limitado, logo
Para
,
enquanto
e
oscilam entre
e
, então a solução oscila com amplitude crescendo exponencialmente, de modo que
.
Resposta
As soluções não triviais de
satisfazem
As soluções não triviais de
satisfazem
e para
têm comportamento oscilatório de amplitude que cresce como
, isto é,
.