Seja
um número real. O problema envolvendo a equação diferencial
e o valor de
em dois pontos distintos, ou seja,
é chamado problema de valores de contorno.
Mostre que o problema acima tem apenas a solução trivial para o caso onde
e
.
Mostre que o problema acima tem apenas a solução trivial para o caso onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado trata de um problema de valores de contorno envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem: $ y’’ + \mu y = 0 $. A gente tem duas condições: $ y(0) = 0 $ e $ y(L) = 0 $, onde $ L $ é um número real diferente de zero. Nosso objetivo é mostrar que, quando $ \mu = 0 $ ou $ \mu < 0 $, a única solução possível para essa equação é a solução trivial, ou seja, $ y = 0 $.
Passo 2
Vamos primeiro considerar o caso onde $ \mu = 0 $. Substituindo esse valor na equação diferencial, ficamos com:
Isso é uma equação diferencial bem simples. A solução geral dessa equação é uma função linear:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que precisamos determinar usando as condições de contorno.
Aplicando a primeira condição $ y(0) = 0 $:
Agora, a solução fica:
Aplicando a segunda condição $ y(L) = 0 $:
Portanto, a única solução possível é:
Passo 3
Agora, vamos analisar o caso onde $ \mu < 0 $. Podemos reescrever $ \mu $ como $ \mu = -k^2 $, onde $ k $ é um número real positivo. Substituindo na equação diferencial, temos:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é:
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeira condição $ y(0) = 0 $:
Então, a solução fica:
Segunda condição $ y(L) = 0 $:
Sabemos que $ \sinh(k L) $ nunca é zero para $ k > 0 $ e $ L \neq 0 $. Portanto, a única maneira de a equação ser verdadeira é se $ C_1 = 0 $. Assim, novamente, temos:
Resposta
A única solução para o problema é a solução trivial $ y(x) = 0 $.