Seja L neq 0 um número real. O problema envolvendo a equação diferencial y^prime prime+mu y=0 e o valor de y em dois pontos distintos, ou seja,
c y^prime prime+mu y=0 y(0)=0, y(L)=0
é chamado problema de valores de contorno.
Mostre que o problema acima tem apenas a solução trivial para o caso onde mu=0 e mu<0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado trata de um problema de valores de contorno envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem: $ y’’ + \mu y = 0 $. A gente tem duas condições: $ y(0) = 0 $ e $ y(L) = 0 $, onde $ L $ é um número real diferente de zero. Nosso objetivo é mostrar que, quando $ \mu = 0 $ ou $ \mu < 0 $, a única solução possível para essa equação é a solução trivial, ou seja, $ y = 0 $.

Passo 2

Vamos primeiro considerar o caso onde $ \mu = 0 $. Substituindo esse valor na equação diferencial, ficamos com:
mu = 0
Isso é uma equação diferencial bem simples. A solução geral dessa equação é uma função linear:
y'' = 0
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que precisamos determinar usando as condições de contorno.
Aplicando a primeira condição $ y(0) = 0 $:
y(x) = C1 x + C2
Agora, a solução fica:
C1
Aplicando a segunda condição $ y(L) = 0 $:
C2
Portanto, a única solução possível é:
y(0) = 0

Passo 3

Agora, vamos analisar o caso onde $ \mu < 0 $. Podemos reescrever $ \mu $ como $ \mu = -k^2 $, onde $ k $ é um número real positivo. Substituindo na equação diferencial, temos:
mu < 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é:
mu
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeira condição $ y(0) = 0 $:
mu = -k^2
Então, a solução fica:
k
Segunda condição $ y(L) = 0 $:
y'' - k^2 y = 0
Sabemos que $ \sinh(k L) $ nunca é zero para $ k > 0 $ e $ L \neq 0 $. Portanto, a única maneira de a equação ser verdadeira é se $ C_1 = 0 $. Assim, novamente, temos:
y(x) = C1 e^k x + C2 e^-k x

Resposta

A única solução para o problema é a solução trivial $ y(x) = 0 $.

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