Esboce as curvas de nível das funções: z = 1 / (x^2 + y^2), nos níveis k=1 e k = 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar as curvas de nível da função nos níveis e . Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e às suas curvas de nível, que ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes pontos do plano.

Passo 2

Primeiro, o que são curvas de nível? São conjuntos de pontos onde a função assume um valor constante . Ou seja, para cada valor de , a gente tem uma curva que mostra onde a função tem esse valor.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função . Para encontrar as curvas de nível, igualamos a função a :

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para e . Primeiro, invertemos os dois lados:
Isso é a equação de um círculo com centro na origem e raio .

Passo 5

Vamos aplicar isso para os valores de dados:
  • Para :
Isso é um círculo de raio centrado na origem.
  • Para :
Aqui, temos um círculo de raio centrado na origem.

Resposta

As curvas de nível da função nos níveis e são círculos centrados na origem com raios de e , respectivamente.

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