Esboce as curvas de nível das funções:
, nos níveis
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar as curvas de nível da função
para os níveis
e
. Vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas funcionam em funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Em uma função de duas variáveis, como
, uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante
. Ou seja, para cada valor de
, temos uma equação
que descreve uma curva no plano
.
Passo 3
No nosso caso, a função é
. Para encontrar as curvas de nível para
e
, vamos substituir
por
na equação da função:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos resolver essas equações para encontrar as curvas de nível.
Para
:
Para que a raiz quadrada seja igual a zero, o que está dentro dela também deve ser zero:
Então:
Essa é a equação de um círculo centrado na origem
com raio
.
Para
:
Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, isolando
:
Essa também é a equação de um círculo centrado na origem
, mas com raio
.
Resposta
As curvas de nível da função
são dois círculos no plano
:
- Para
: (círculo com raio ) - Para
: (círculo com raio )