Esboce as curvas de nível das funções: z = raiz(x^2 + y^2 - 2), nos níveis k = 0 e k=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar as curvas de nível da função para os níveis e . Vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas funcionam em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Em uma função de duas variáveis, como , uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante . Ou seja, para cada valor de , temos uma equação que descreve uma curva no plano .

Passo 3

No nosso caso, a função é . Para encontrar as curvas de nível para e , vamos substituir por na equação da função:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos resolver essas equações para encontrar as curvas de nível.
Para :
Para que a raiz quadrada seja igual a zero, o que está dentro dela também deve ser zero:
Então:
Essa é a equação de um círculo centrado na origem com raio .
Para :
Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, isolando :
Essa também é a equação de um círculo centrado na origem , mas com raio .

Resposta

As curvas de nível da função são dois círculos no plano :
  • Para : (círculo com raio )
  • Para : (círculo com raio )

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