Esboce as curvas de nível das funções:
, nos níveis
e
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A função que temos é
, e precisamos esboçar as curvas de nível para os valores
,
e
. Isso faz parte do estudo de curvas de nível em matemática, que nos ajudam a representar funções de duas variáveis em um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Para uma função
, uma curva de nível para um valor
é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
. Ou seja, substituímos
por
na equação da função.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Queremos encontrar as curvas de nível para
,
e
. Então, substituímos
por cada valor de
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos resolver cada uma dessas equações para
, a fim de criar uma forma mais fácil de esboçar as curvas:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Podemos ver que todas essas equações são linhas retas com inclinação 1, mas com diferentes interceptações no eixo
. Isso significa que todas as curvas de nível são retas paralelas entre si.
- Para
, a reta passa pela origem (0,0). - Para
, a reta está deslocada 1 unidade para baixo. - Para
, a reta está deslocada 1 unidade para cima.
Passo 6
Vamos esboçar essas retas no plano
:
- Curva de nível
: Reta - Curva de nível
: Reta - Curva de nível
: Reta
Todas essas retas são diagonais com inclinação positiva e estão separadas verticalmente por uma unidade.
Passo 7
Ao esboçar, você verá três linhas paralelas:
- A linha central passando pela origem (
). - Uma linha abaixo dela (
). - Uma linha acima dela (
).
Isso representa as curvas de nível para a função
nos níveis especificados.
Resposta
As curvas de nível da função
são três retas paralelas no plano
:
- Para
: a reta . - Para
: a reta . - Para
: a reta .