Esboce as curvas de nível das funções: z = x - y, nos níveis k=0, k=1 e k = -1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A função que temos é , e precisamos esboçar as curvas de nível para os valores , e . Isso faz parte do estudo de curvas de nível em matemática, que nos ajudam a representar funções de duas variáveis em um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Para uma função , uma curva de nível para um valor k é o conjunto de pontos (x, y) que satisfazem a equação . Ou seja, substituímos z por k na equação da função.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função . Queremos encontrar as curvas de nível para , e . Então, substituímos z por cada valor de k:
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos resolver cada uma dessas equações para y, a fim de criar uma forma mais fácil de esboçar as curvas:
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Podemos ver que todas essas equações são linhas retas com inclinação 1, mas com diferentes interceptações no eixo y. Isso significa que todas as curvas de nível são retas paralelas entre si.
  • Para , a reta passa pela origem (0,0).
  • Para , a reta está deslocada 1 unidade para baixo.
  • Para , a reta está deslocada 1 unidade para cima.

Passo 6

Vamos esboçar essas retas no plano xy:
  1. Curva de nível : Reta
  2. Curva de nível : Reta
  3. Curva de nível : Reta
Todas essas retas são diagonais com inclinação positiva e estão separadas verticalmente por uma unidade.

Passo 7

Ao esboçar, você verá três linhas paralelas:
  • A linha central passando pela origem ( ).
  • Uma linha abaixo dela ( ).
  • Uma linha acima dela ( ).
Isso representa as curvas de nível para a função nos níveis especificados.

Resposta

As curvas de nível da função são três retas paralelas no plano xy:
  • Para : a reta .
  • Para : a reta .
  • Para : a reta .

Exercícios relacionados