Mostre que as funções nos Exercícios 69-75 são todas soluções da equação de onda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que a função
é uma solução da equação de onda. Para isso, vamos precisar entender o que é a equação de onda e como verificar se uma função satisfaz essa equação. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a equação de onda. Ela descreve como as ondas se propagam no espaço e no tempo. Matematicamente, para uma dimensão espacial, a equação de onda é:
Aqui,
é a função que descreve a onda,
é a velocidade da onda,
é o tempo, e
é a posição no espaço.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação ao tempo
. A função dada é:
Primeiro, calculamos a primeira derivada de
em relação a
:
Agora, a segunda derivada:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
.
Primeiro, a primeira derivada de
em relação a
:
Agora, a segunda derivada:
Passo 5
Agora que temos as duas segundas derivadas, vamos verificar se elas satisfazem a equação de onda. Substituindo na equação:
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando ambos os lados:
Os dois lados são iguais, o que confirma que a função
satisfaz a equação de onda.
Resposta
Então, mostramos que
é realmente uma solução da equação de onda, já que ao calcular as derivadas necessárias, as igualdade da equação é satisfeita!