Mostre que as funções nos Exercícios 69-75 são todas soluções da equação de onda.
w = cos(2x + 2ct)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que a função é uma solução da equação de onda. Para isso, vamos precisar entender o que é a equação de onda e como verificar se uma função satisfaz essa equação. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a equação de onda. Ela descreve como as ondas se propagam no espaço e no tempo. Matematicamente, para uma dimensão espacial, a equação de onda é:
Aqui, é a função que descreve a onda, é a velocidade da onda, é o tempo, e é a posição no espaço.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação ao tempo . A função dada é:
Primeiro, calculamos a primeira derivada de em relação a :
Agora, a segunda derivada:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a segunda derivada de em relação a .
Primeiro, a primeira derivada de em relação a :
Agora, a segunda derivada:

Passo 5

Agora que temos as duas segundas derivadas, vamos verificar se elas satisfazem a equação de onda. Substituindo na equação:
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando ambos os lados:
Os dois lados são iguais, o que confirma que a função satisfaz a equação de onda.

Resposta

Então, mostramos que é realmente uma solução da equação de onda, já que ao calcular as derivadas necessárias, as igualdade da equação é satisfeita!

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