Esboce as curvas de nível de f para os seguintes valores de k :
(a) f(x, y) = raiz(100 - x^2 - y^2) ; k = 0, 2, 4, 6, 8, 10

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , e queremos desenhar as curvas de nível dessa função para os valores de .
Mas antes de mais nada, o que são curvas de nível? Basicamente, uma curva de nível para um valor é o conjunto de pontos que fazem a função igual a esse . Ou seja, estamos procurando os pontos que satisfazem .

Passo 2

Vamos começar substituindo por na equação da função:

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados da equação ao quadrado:

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a equação para isolar :

Passo 5

Essa equação representa um círculo no plano cartesiano. Sabemos que a equação geral de um círculo é , onde é o raio do círculo.
Portanto, para cada valor de , teremos um círculo com raio:

Passo 6

Vamos calcular o raio para cada valor de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
    Isso significa que, para , a curva de nível é apenas o ponto na origem.

Resposta

As curvas de nível da função para os valores de são círculos centrados na origem com os seguintes raios:
  • : Círculo com raio
  • : Círculo com raio
  • : Círculo com raio
  • : Círculo com raio
  • : Círculo com raio
  • : Ponto na origem (raio )
Esses círculos representam todas as possíveis combinações de e que resultam em cada valor específico de na função dada.

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