Esboce as curvas de nível de
para os seguintes valores de
:
(a)
(a)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, e queremos desenhar as curvas de nível dessa função para os valores de
.
Mas antes de mais nada, o que são curvas de nível? Basicamente, uma curva de nível para um valor
é o conjunto de pontos
que fazem a função
igual a esse
. Ou seja, estamos procurando os pontos que satisfazem
.
Passo 2
Vamos começar substituindo
por
na equação da função:
Passo 3
Para facilitar a resolução, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados da equação ao quadrado:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a equação para isolar
:
Passo 5
Essa equação
representa um círculo no plano cartesiano. Sabemos que a equação geral de um círculo é
, onde
é o raio do círculo.
Portanto, para cada valor de
, teremos um círculo com raio:
Passo 6
Vamos calcular o raio
para cada valor de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: Isso significa que, para, a curva de nível é apenas o ponto na origem.
Resposta
As curvas de nível da função
para os valores de
são círculos centrados na origem com os seguintes raios:
-
: Círculo com raio -
: Círculo com raio -
: Círculo com raio -
: Círculo com raio -
: Círculo com raio -
: Ponto na origem (raio )
Esses círculos representam todas as possíveis combinações de
e
que resultam em cada valor específico de
na função dada.