Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule a derivada dd x f(x)
(b) f(x)=integral1-x^2^e^x cos (s^2) d s

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de uma função definida por uma integral. O conteúdo principal aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a relacionar derivadas e integrais. Para isso, vamos precisar usar uma regra especial chamada Regra de Leibniz, que é usada quando os limites da integral dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que temos: . Queremos encontrar , ou seja, a derivada dessa função em relação a .

Passo 3

A Regra de Leibniz nos diz que, se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de ddx integrala(x)^b(x) g(s) ds = g(b(x)) cdot b'(x) - g(a(x)) cdot a'(x) , então a derivada dessa função é dada por:
Aqui, e são os limites inferior e superior da integral, respectivamente.

Passo 4

Aplicando essa regra ao nosso caso, identificamos:
a(x) = 1 - x^2 e b(x) = e^x
A função dentro da integral é .

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas dos limites:
a'(x) = ddx (1 - x^2) = -2x
b'(x) = ddx e^x = e^x

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula da Regra de Leibniz:
ddx f(x) = cos( (e^x)^2 ) cdot e^x - cos( (1 - x^2)^2 ) cdot (-2x)

Passo 7

Simplificando os termos:
ddx f(x) = e^x cdot cos( e^2x ) + 2x cdot cos( (1 - x^2)^2 )

Resposta

A derivada de f'(x) = e^x cos(e^2x) + 2x cos((1 - x^2)^2) é:

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