Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule a derivada dd x f(x)
© f(x)=integral-cos (x)^sen(x) 1raiz1-theta^2 d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de uma função definida por uma integral, usando o Teorema Fundamental do Cálculo. A função dada é:
Então, vamos precisar entender como derivar uma integral onde os limites também dependem de f(x) = integral-cos(x)^sen(x) 1raiz1 - theta^2 , dtheta .

Passo 2

Primeiro, lembrando do Teorema Fundamental do Cálculo, especialmente da regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis. A regra diz que se temos:
f(x) = integrala(x)^b(x) g(theta) , dtheta
Então, a derivada f'(x) = g(b(x)) cdot b'(x) - g(a(x)) cdot a'(x) é:
Ou seja, multiplicamos a função integranda avaliada nos limites pelos derivados desses limites.

Passo 3

Vamos identificar as partes na nossa função:
Agora, vamos calcular os derivados dos limites:

Passo 4

Agora, aplicando a regra de Leibniz:
f'(x) = g(b(x)) cdot b'(x) - g(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo:

Passo 5

Simplificando as expressões dentro das raízes:
  • , então
  • , então
Assumindo que f'(x) = 1cos(x) cdot cos(x) - 1sen(x) cdot sen(x) e são positivos no intervalo considerado, podemos remover o valor absoluto:

Passo 6

Agora, simplificando:
f'(x) = 1 - 1 = 0

Resposta

A derivada é igual a zero.

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