Se a, b e c são vetores constantes, é o vetor posição e é dado pelas inequações , mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo integral envolvendo vetores. O que precisamos mostrar é que a tripla integral sobre a região de dV resulta em . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, mudanças de variáveis em integrais múltiplas e propriedades do determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . As inequações , e definem um paralelepípedo no espaço tridimensional. A interseção dessas inequações limita o espaço onde vamos calcular a integral.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir , , e . Isso transforma nossa integral para coordenadas , o que simplifica os limites de integração para a , a e a , respectivamente.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o jacobiano dessa transformação, que é o determinante das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas. Matematicamente, o jacobiano é dado por:
Isso representa o volume do paralelepípedo formado pelos vetores .
Passo 5
Com a mudança de variável e o jacobiano definidos, nossa integral fica:
integral triplaE (a cdot r)(b cdot r)(c cdot r) dV = integral triplaE' uvw cdot 1|a cdot (b times c)| du,dv,dw
Onde é o novo domínio de integração, que é simplesmente um cubo com limites de a , a , e a .
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral ( integral0^alpha u , du ) ( integral0^beta v , dv ) ( integral0^gamma w , dw ) . Como os limites são independentes, podemos quebrar a integral em três integrais simples:
integral0^alpha u , du = alpha^22, integral0^beta v , dv = beta^22, integral0^gamma w , dw = gamma^22