Se a, b e c são vetores constantes, r é o vetor posição x i+y j+z k e E é dado pelas inequações 0 <= a cdot r <= alpha, 0 <= b cdot r <= beta, 0 <= c cdot r <= gamma, mostre que
integral triplaE(a cdot r)(b cdot r)(c cdot r) d V=(alpha beta gamma)^28|a cdot(b times c)|

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo integral envolvendo vetores. O que precisamos mostrar é que a tripla integral sobre a região de dV resulta em . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, mudanças de variáveis em integrais múltiplas e propriedades do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . As inequações , e definem um paralelepípedo no espaço tridimensional. A interseção dessas inequações limita o espaço onde vamos calcular a integral.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir , , e . Isso transforma nossa integral para coordenadas , o que simplifica os limites de integração para a , a e a , respectivamente.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o jacobiano dessa transformação, que é o determinante das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas. Matematicamente, o jacobiano J = | partial(u, v, w)partial(x, y, z) | = | ccc ax & ay & az bx & by & bz cx & cy & cz | = a cdot (b times c) é dado por:
Isso representa o volume do paralelepípedo formado pelos vetores .

Passo 5

Com a mudança de variável e o jacobiano definidos, nossa integral fica:
integral triplaE (a cdot r)(b cdot r)(c cdot r) dV = integral triplaE' uvw cdot 1|a cdot (b times c)| du,dv,dw
Onde é o novo domínio de integração, que é simplesmente um cubo com limites de a , a , e a .

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral ( integral0^alpha u , du ) ( integral0^beta v , dv ) ( integral0^gamma w , dw ) . Como os limites são independentes, podemos quebrar a integral em três integrais simples:
integral0^alpha u , du = alpha^22, integral0^beta v , dv = beta^22, integral0^gamma w , dw = gamma^22
Calculando cada uma:
alpha^22 cdot beta^22 cdot gamma^22 = (alpha beta gamma)^28
Multiplicando tudo:

Passo 7

Finalmente, substituímos esse resultado de volta na expressão da integral original:
integral triplaE (a cdot r)(b cdot r)(c cdot r) dV = (alpha beta gamma)^28 |a cdot (b times c)|

Resposta

integral triplaE (a cdot r)(b cdot r)(c cdot r) dV = (alpha beta gamma)^28 |a cdot (b times c)|

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