A seguir, estudaremos a aparente convergência de uma integral imprópria.
(a) Usando uma substituição, determine a primitiva integral 2 xx^2+1 d x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos que encontrar uma primitiva (ou antiderivada) da função usando o método da substituição. Para isso, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração e entender como escolher a substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída para simplificar a integral. Observamos que no denominador temos , e no numerador temos , que é a derivada de . Isso sugere que podemos fazer uma substituição onde .

Passo 3

Fazendo a substituição dudx = 2x implies du = 2x , dx , vamos calcular a derivada de em relação a :
Observamos que aparece exatamente no numerador da nossa integral, o que facilita a substituição.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral 2xx^2 + 1 , dx = integral duu
Agora, a integral ficou muito mais simples!

Passo 5

Sabemos que a integral de integral duu = ln|u| + C em relação a é o logaritmo natural de mais uma constante. Portanto:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável original ln|x^2 + 1| + C , substituímos ln(x^2 + 1) + C por :
Como é sempre positivo, podemos simplificar para:

Resposta

A primitiva da função é .

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