A seguir, estudaremos a aparente convergência de uma integral imprópria.
(a) Usando uma substituição, determine a primitiva
.
(a) Usando uma substituição, determine a primitiva
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos que encontrar uma primitiva (ou antiderivada) da função
usando o método da substituição. Para isso, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração e entender como escolher a substituição adequada para simplificar a integral.
Passo 2
Vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída para simplificar a integral. Observamos que no denominador temos
, e no numerador temos
, que é a derivada de
. Isso sugere que podemos fazer uma substituição onde
.
Passo 3
Fazendo a substituição
, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Observamos que
aparece exatamente no numerador da nossa integral, o que facilita a substituição.
Passo 4
Substituindo na integral original, temos:
Agora, a integral ficou muito mais simples!
Passo 5
Sabemos que a integral de
em relação a
é o logaritmo natural de
mais uma constante. Portanto:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à variável original
, substituímos
por
:
Como
é sempre positivo, podemos simplificar para:
Resposta
A primitiva da função
é
.