Sejam f(t)=t^2+3, g(t)=2 t^3-3 t, u(t)=t i-t^2 j+2 t k, e v(t)=i-2 t j+3 t^2 k. Determine
dd t(3 u+4 v)

Passo 1

O enunciado dá as funções vetoriais
u(t)=t,i-t^2,j+2t,k e
v(t)=i-2t,j+3t^2,k,
e pede
ddtl(3u(t)+4v(t)r)
Para isso vamos usar a linearidade da derivada:
ddtl(au+bvr) =a,dudt+b,dvdt,
além de derivar componente a componente.

Passo 2

Primeiro montamos a combinação linear:
3u(t)+4v(t) =3l(t,,-t^2,,2tr)+4l(1,,-2t,,3t^2r)
Calculando componente a componente:
3u(t)+4v(t) =l(3t+4,,-3t^2-8t,;6t+12t^2r)

Passo 3

Agora derivamos cada componente em relação a t:
  • componente x: ddt(3t+4)=3,
  • componente y: ddt(-3t^2-8t)=-6t-8,
  • componente z: ddt(6t+12t^2)=6+24t.
Portanto,
ddtl(3u+4vr) =l(3,,-6t-8,;6+24tr)

Resposta

ddtl(3u(t)+4v(t)r) =3,i+(-6t-8),j+(6+24t),k

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