Questão 11: Resolver as seguintes inequações e encontrar o intervalo de soluções:
1x^2-x-6 <= 2x^2-2 x-8

Passo 1

A desigualdade é
1x^2-x-6 <= 2x^2-2x-8
Para resolver, vamos:
1. Determinar o domínio (zeros dos denominadores).
2. Colocar tudo em um único lado e obter uma fração <= 0.
3. Fatorar numerador e denominador.
4. Fazer análise de sinais nos intervalos críticos.

Passo 2

Os denominadores são
x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2), x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2)
Logo as raízes são x=3,-2 e x=4,-2. Como não podemos anular nenhum denominador, o domínio é
xinRsetminus-2,3,4

Passo 3

Passamos tudo para o lado esquerdo:
1x^2-x-6-2x^2-2x-8<= 0
Colocando num único denominador comum (x^2 - x -6)(x^2 -2x -8), obtemos
x^2-2x-8 ;-; 2,(x^2 - x -6)(x^2 - x -6)(x^2 -2x -8) <= 0
e o numerador simplifica para
4 - x^2

Passo 4

Reescrevendo a desigualdade temos
4 - x^2(x^2 - x -6)(x^2 -2x -8) <= 0
Agora fatoramos:
4 - x^2 = (2 - x)(2 + x),
(x^2 - x -6)(x^2 -2x -8) = (x-3)(x+2),(x-4)(x+2) = (x-3)(x-4)(x+2)^2
Os pontos críticos são as raízes de numerador x=2,-2 e de denominador x=3,4,-2.

Passo 5

Como (x+2)^2>0 para xneq -2, o sinal da fração fica a cargo de
(2 - x)(2 + x)(x-3)(x-4)
Os pontos críticos ordenados são -infty,-2,2,3,4,+infty. Testando cada intervalo:
  • Para x<-2, ex.: x=-3: numerador 4-9<0, denominador (-6)cdot(-7)>0, fração negativa to satisfaz.
  • Para -2<x<2, ex.: x=0: numerador >0, denominador >0, fração positiva to não satisfaz.
  • Para 2<x<3, ex.: x=2,5: numerador <0, denominador >0, fração negativa to satisfaz.
  • Para 3<x<4, ex.: x=3,5: numerador <0, denominador <0, fração positiva to não satisfaz.
  • Para x>4, ex.: x=5: numerador <0, denominador >0, fração negativa to satisfaz.
Além disso, quando x=2 a fração vale zero (numerador zero e denominador neq 0), então x=2 entra na solução. Os valores x=-2,3,4 são excluídos por anularem o denominador.

Resposta

(-infty,-2);cup;[2,3);cup;(4,infty)

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