Questão 11: Resolver as seguintes inequações e encontrar o intervalo de soluções:
Passo 1
A desigualdade é
Para resolver, vamos:
. Determinar o domínio (zeros dos denominadores).
. Colocar tudo em um único lado e obter uma fração
.
. Fatorar numerador e denominador.
. Fazer análise de sinais nos intervalos críticos.
Passo 2
Os denominadores são
Logo as raízes são
e
. Como não podemos anular nenhum denominador, o domínio é
Passo 3
Passamos tudo para o lado esquerdo:
Colocando num único denominador comum
, obtemos
e o numerador simplifica para
Passo 4
Reescrevendo a desigualdade temos
Agora fatoramos:
Os pontos críticos são as raízes de numerador
e de denominador
.
Passo 5
Como
para
, o sinal da fração fica a cargo de
Os pontos críticos ordenados são
. Testando cada intervalo:
- Para
, ex.: : numerador , denominador , fração negativa satisfaz. - Para
, ex.: : numerador , denominador , fração positiva não satisfaz. - Para
, ex.: : numerador , denominador , fração negativa satisfaz. - Para
, ex.: : numerador , denominador , fração positiva não satisfaz. - Para
, ex.: : numerador , denominador , fração negativa satisfaz.
Além disso, quando
a fração vale zero (numerador zero e denominador
), então
entra na solução. Os valores
são excluídos por anularem o denominador.