Esboce as curvas parametrizadas.
c(t)=(t^2-9,8t-t^3)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva paramétrica definida por c(t)=(t^2-9,,8t-t^3). O conteúdo aqui é esboço de curvas paramétricas: vamos usar simetria, pontos de interseção com eixos, tangentes horizontais e verticais e comportamento para ttopminfty.

Passo 2

Note que c(-t)=(t^2-9,,-8t+t^3)=(x,-y), ou seja, a curva é simétrica em relação ao eixo x.

Passo 3

Para achar as interseções com o eixo x fazemos y=8t-t^3=0, isto é t(8-t^2)=0. Logo t=0,,pmraiz8. Substituindo em x=t^2-9, obtemos os pontos (-9,0) e (-1,0) (duas vezes, para t=+raiz8 e t=-raiz8).

Passo 4

Para as tangentes calculamos as derivadas: dfracdxdt=2t e dfracdydt=8-3t^2. Temos tangente vertical quando dx/dt=0 (e dy/dtneq0), ou seja em t=0 no ponto (-9,0). Temos tangentes horizontais quando dy/dt=0, ou seja t=pmraiz8/3. Nesses t o ponto é l(-6.333,pm8.71r).

Passo 5

Para tto-infty temos x=t^2-9to+infty e yapprox -t^3to+infty, ou seja a curva parte do I quadrante. Para tto+infty ela volta pelo IV quadrante ( xto+infty,;yto-infty).

Passo 6

Com esses dados esboçamos a curva em forma de S deitada, simétrica em relação ao eixo x, cruzando o eixo em (-1,0) e (-9,0), com tangente vertical em (-9,0) e tangentes horizontais em aproximadamente (-6.33,8.71) e (-6.33,-8.71).

Resposta

Esboço: curva semelhante a um S deitado, simétrica em relação ao eixo x, cruzando o eixo x em (-1,0) e (-9,0), com tangente vertical em (-9,0), tangentes horizontais em aproximadamente (-6.33,±8.71), partindo do primeiro quadrante para t→−∞ e indo ao quarto quadrante para t→+∞.

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