Esboce as curvas parametrizadas pelas funções vetoriais dadas e determine as equações cartesianas dessas curvas:
\vec{\sigma}(t)=(3 \cos t, 2 \sin t), \quad t \in[0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
\vec{\sigma}(t)=(3\cos t,\;2\sin t),
com t\in[0,2\pi], e pede duas coisas: (1) esboçar as curvas paramétricas dadas e (2) determinar a(s) equação(ões) cartesiana(s) dessas curvas. As informações relevantes que temos são as fórmulas das coordenadas em função de t:
x(t)=3\cos t,\qquad y(t)=2\sin t,
e o intervalo de t, que indica que queremos a curva gerada quando t varia de 0 a 2\pi.

Passo 2

Queremos eliminar o parâmetro t para obter uma relação entre x e y. Primeiro escrevemos \cos t e \sin t em função de x e y. A partir de x(t)=3\cos t temos
\cos t=\frac{x}{3},
e a partir de y(t)=2\sin t temos
\sin t=\frac{y}{2}.
Aqui x e y denotam as coordenadas do ponto \vec{\sigma}(t) no plano.

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica fundamental \cos^2 t+\sin^2 t=1. Substituindo as expressões de \cos t e \sin t em termos de x e y, obtemos
\left(\frac{x}{3}\right)^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}=1.
Essa é a equação cartesiana da curva. Vamos interpretar essa equação: é uma elipse centrada na origem, pois está na forma padrão
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde aqui a=3 e b=2. Os semi-eixos são 3 ao longo do eixo x e 2 ao longo do eixo y.

Passo 4

Para esboçar a curva, identifique pontos notáveis obtidos diretamente da parametrização. Substituímos valores de t fáceis:
t=0:\quad (x,y)=(3\cos0,\,2\sin0)=(3,0),
t=\frac{\pi}{2}:\quad (x,y)=(3\cos\frac{\pi}{2},\,2\sin\frac{\pi}{2})=(0,2),
t=\pi:\quad (x,y)=(-3,0),
t=\frac{3\pi}{2}:\quad (x,y)=(0,-2),
t=2\pi:\quad (x,y)=(3,0).
Portanto a elipse intercepta os eixos nos pontos (\pm 3,0) e (0,\pm 2). Para desenhar: marque esses quatro pontos, trace uma curva suave passando por eles e fechando-se formando a elipse com eixos alinhados aos eixos coordenados.

Passo 5

Vamos ver o sentido (orientação) com que a curva é percorrida quando t aumenta. Calculamos a derivada
\vec{\sigma}'(t)=(-3\sin t,\;2\cos t).
Em t=0 temos \vec{\sigma}'(0)=(0,2), ou seja, a velocidade inicial aponta para cima. Assim, ao aumentar t a partir de 0 o ponto sai de (3,0) em direção a (0,2): isso indica que a elipse é percorrida no sentido anti-horário (sentido anti-horário = sentido positivo em trigonometria). Como t vai de 0 a 2\pi, a elipse é inteira e é percorrida exatamente uma vez.

Passo 6

Resumo prático para o esboço passo a passo (faça isso na prova sem calculadora):
  1. Desenhe os eixos x e y.\n
  2. Marque os pontos (3,0),(-3,0),(0,2),(0,-2).\n
  3. Una-os com uma curva oval simétrica em relação aos eixos (a elipse).\n
  4. Indique a orientação anti-horária com uma seta partindo de (3,0) indo para (0,2).

Resposta

\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1
Elipse centrada na origem com semi-eixos a=3 (horizontal) e b=2 (vertical), interceptos (\pm3,0) e (0,\pm2); percorrida no sentido anti-horário quando t aumenta de 0 a 2\pi.

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