Esboce as curvas parametrizadas pelas funções vetoriais dadas e determine as equações cartesianas dessas curvas:
.
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
com
, e pede duas coisas: (1) esboçar as curvas paramétricas dadas e (2) determinar a(s) equação(ões) cartesiana(s) dessas curvas. As informações relevantes que temos são as fórmulas das coordenadas em função de
:
e o intervalo de
, que indica que queremos a curva gerada quando
varia de
a
.
Passo 2
Queremos eliminar o parâmetro
para obter uma relação entre
e
. Primeiro escrevemos
e
em função de
e
. A partir de
temos
e a partir de
temos
Aqui
e
denotam as coordenadas do ponto
no plano.
Passo 3
Usamos a identidade trigonométrica fundamental
. Substituindo as expressões de
e
em termos de
e
, obtemos
Essa é a equação cartesiana da curva. Vamos interpretar essa equação: é uma elipse centrada na origem, pois está na forma padrão
onde aqui
e
. Os semi-eixos são
ao longo do eixo
e
ao longo do eixo
.
Passo 4
Para esboçar a curva, identifique pontos notáveis obtidos diretamente da parametrização. Substituímos valores de
fáceis:
Portanto a elipse intercepta os eixos nos pontos
e
. Para desenhar: marque esses quatro pontos, trace uma curva suave passando por eles e fechando-se formando a elipse com eixos alinhados aos eixos coordenados.
Passo 5
Vamos ver o sentido (orientação) com que a curva é percorrida quando
aumenta. Calculamos a derivada
Em
temos
, ou seja, a velocidade inicial aponta para cima. Assim, ao aumentar
a partir de
o ponto sai de
em direção a
: isso indica que a elipse é percorrida no sentido anti-horário (sentido anti-horário = sentido positivo em trigonometria). Como
vai de
a
, a elipse é inteira e é percorrida exatamente uma vez.
Passo 6
Resumo prático para o esboço passo a passo (faça isso na prova sem calculadora):
- Desenhe os eixos
e .\n - Marque os pontos
.\n - Una-os com uma curva oval simétrica em relação aos eixos (a elipse).\n
- Indique a orientação anti-horária com uma seta partindo de
indo para .
Resposta
Elipse centrada na origem com semi-eixos
(horizontal) e
(vertical), interceptos
e
; percorrida no sentido anti-horário quando
aumenta de
a
.