Q4. ( 2 , 0 pontos) Uma carga elétrica 1 , fixa na origem, exerce sobre uma partícula carregada 2, localizada no ponto (x, y, z), uma força dada por
F(x, y, z)=(K|r|^2) r|r|^prime
em que r=x i+y j+z k é o vetor posição da partícula 2 e K é uma constante.
Determine o trabalho realizado por essa força quando a partícula 2 se desloca ao longo de uma linha reta do ponto (3,0,0) até o ponto (3,1,7).

Passo 1

Resumo do enunciado: temos duas cargas elétricas, uma fixa na origem e outra no ponto (x,y,z). A força que a primeira faz sobre a segunda é
vec F(x,y,z)=K|vec r|^2;vec r|vec r|;=;K,vec r|vec r|^3, onde vec r=(x,y,z)
Queremos o trabalho dessa força quando a partícula vai em linha reta de A=(3,0,0) até B=(3,1,7).
Matéria: Cálculo vetorial / Física – trabalho de uma força variável (integral de linha).
O que precisamos:
  1. Saber que o trabalho é W=integralCvec Fcdot dvec r.
  2. Parametrizar a reta de A a B.
  3. Calcular o produto escalar e resolver a integral.

Passo 2

Parametrização da reta C:
Escolhemos um parâmetro tin[0,1] tal que
vec r(t) = (3,;t,;7t), vec r(0)=(3,0,0)=A, vec r(1)=(3,1,7)=B
Então
dvec r = vec r,'(t),dt = (0,1,7),dt
E a força ao longo do caminho é
vec Fl(vec r(t)r) = K,(3,;t,;7t)l|,(3,t,7t)r|^3 = K,(3,;t,;7t)l(9 + 50t^2r)^3/2

Passo 3

Calculando o produto escalar
vec F(vec r(t));cdot;dvec r = K,(3,,t,,7t)(9+50t^2)^3/2;cdot;(0,1,7),dt = K,l(3cdot0 + tcdot1 + 7tcdot7r)(9+50t^2)^3/2,dt = 50,K,tl(9+50t^2r)^3/2,dt
Logo o trabalho é
W=integralt=0^1vec F(vec r(t))cdot dvec r =integral0^150,K,t(9+50t^2)^3/2,dt

Passo 4

Para resolver a integral, use a troca de variável
u = 9 + 50t^2 Longrightarrow du = 100,t,dt Longrightarrow 50,t,dt = du2
Quando t=0, u=9; quando t=1, u=59.
Então
W = Kintegral0^150,t(9+50t^2)^3/2,dt = Kintegralu=9^5912,u^-3/2,du = K2l[-2,u^-1/2r]9^59 = -Kl[tfrac1raizur]9^59 = Kl(13-1raiz59r)

Resposta

boxedW ;=; K;l(tfrac13 ;-;tfrac1raiz59r)

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