Esboce e descreva as regiōes de integração.
0 <= x <= 1, e^x <= y <= e

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e descrever a região
R = (x,y)mid 0<= x<=1, e^x<= y<= e
Isso envolve identificar as curvas e retas que limitam R e depois escrever os mesmos limites em forma de “região tipo I” (varrendo x) e, se quisermos, também em forma de “região tipo II” (varrendo y).

Passo 2

Identificamos quatro fronteiras de R:
  1. A reta vertical x=0.
  2. A reta vertical x=1.
  3. A curva exponencial y=e^x, que cresce de e^0=1 até e^1=e.
  4. A reta horizontal y=e.

Passo 3

Para esboçar R:
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Trace a curva y=e^x desde o ponto (0,1) até (1,e).
  3. Trace a reta horizontal y=e.
  4. Trace as retas verticais x=0 e x=1.
    A região fica “entre” a curva y=e^x por baixo e a reta y=e por cima, limitada lateralmente por x=0 e x=1.

Passo 4

Descrição analítica de R:
Tipo I (varrendo x primeiro):
0<= x<= 1, e^x<= y<= e
Tipo II (varrendo y primeiro): note que y varia de ymin=e^0=1 até ymax=e e, para um dado y, temos e^x<= yiff x<=ln y. Como x também está entre 0 e 1, obtemos
1<= y<= e, 0<= x<= min1,ln y
mas como ln y<=1 para y<= e, é simplesmente
1<= y<= e, 0<= x<= ln y

Resposta

A região esquematiza-se entre as retas x=0, x=1, a curva y=e^x e a reta y=e.
Em fórmulas:
(a) Tipo I:
0<= x<=1, e^x<= y<= e
(b) Tipo II:
1<= y<= e, 0<= x<=ln y

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