Esboce e descreva as regiōes de integração.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e descrever a região
Isso envolve identificar as curvas e retas que limitam
e depois escrever os mesmos limites em forma de “região tipo I” (varrendo
) e, se quisermos, também em forma de “região tipo II” (varrendo
).
Passo 2
Identificamos quatro fronteiras de
:
- A reta vertical
. - A reta vertical
. - A curva exponencial
, que cresce de até . - A reta horizontal
.
Passo 3
Para esboçar
:
- Desenhe os eixos
e . - Trace a curva
desde o ponto até . - Trace a reta horizontal
. - Trace as retas verticais
e .
A região fica “entre” a curvapor baixo e a reta por cima, limitada lateralmente por e .
Passo 4
Descrição analítica de
:
Tipo I (varrendo
primeiro):
Tipo II (varrendo
primeiro): note que
varia de
até
e, para um dado
, temos
. Como
também está entre 0 e 1, obtemos
mas como
para
, é simplesmente
Resposta
A região esquematiza-se entre as retas
,
, a curva
e a reta
.
Em fórmulas:
(a) Tipo I:
Em fórmulas:
(a) Tipo I:
(b) Tipo II: