Esboce e descreva as regiōes de integração.
1 <= x <= e^2, 0 <= y <= ln x

Passo 1

O enunciado pede que a gente desenhe e descreva a região do plano (x,y) dada por
1 <= x <= e^2, 0 <= y <= ln x
O conteúdo é caracterizar regiões de integração tipo I (integrando em y primeiro) e depois escrever a mesma região invertendo a ordem de integração.

Passo 2

Para esboçar a região, identificamos quatro fronteiras:
  1. A reta vertical x=1.
  2. A reta vertical x=e^2.
  3. A reta horizontal y=0.
  4. A curva y=ln x, que passa por (1,0) e por (e^2,2).
O contorno é fechado por essas quatro curvas e a região é tudo que está acima de y=0, abaixo de y=ln x, e entre x=1 e x=e^2.

Passo 3

Em notação de conjunto, mantendo a ordem “ dy,dx” (integrando em y primeiro), temos
R=(x,y)mid 1<= x<= e^2,;0<= y<= ln x
Para inverter a ordem (“ dx,dy”), resolvemos y<= ln x em função de x:
y<= ln xLong<=ftrightarrow x>= e^y
Como y vai de 0 até ln(e^2)=2, a descrição invertida fica
R=(x,y)mid 0<= y<= 2,;e^y<= x<= e^2

Resposta

Descrição original (ordem dy,dx):
R=(x,y)mid 1<= x<= e^2,;0<= y<= ln x
Descrição invertida (ordem dx,dy):
R=(x,y)mid 0<= y<= 2,;e^y<= x<= e^2

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