Seja
a região triangular de vértices
e
do plano
. Preencha as lacunas das integrais.
(a) Tratando
como uma região do tipo I,
(a) Tratando
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para preencher as lacunas das integrais duplas para uma região triangular no plano
. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais duplas, mais especificamente a configuração dos limites de integração para uma Região do Tipo I. Para resolver isso, vamos precisar entender como descrever a região triangular com inequações que delimitam
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vértices do triângulo:
,
e
. Isso nos ajuda a visualizar a região
no plano.
Passo 3
Como estamos tratando a região como Tipo I, isso significa que vamos integrar primeiro em
e depois em
. Ou seja, teremos
variando entre duas funções de
, e
variando entre dois limites constantes.
Passo 4
Vamos determinar os limites para
. Observando os vértices, vemos que
varia de
até
. Então, o limite externo para
é de
a
.
Passo 5
Agora, para cada valor de
entre
e
, vamos determinar os limites para
. A parte de baixo do triângulo está no eixo
, onde
. A parte de cima é a linha que conecta
a
. Precisamos encontrar a equação dessa linha.
Passo 6
Para encontrar a equação da linha que liga
a
, usamos a fórmula da linha reta:
Onde
é o coeficiente angular e
é o coeficiente linear.
Calculando
:
Então, a equação da reta é:
Passo 7
Com isso, para cada
entre
e
,
varia de
(parte de baixo do triângulo) até
(parte de cima do triângulo).
Passo 8
Agora, podemos preencher as lacunas da integral dupla. Ficará assim: