Seja R a região triangular de vértices (0,0),(3,0) e (0,4) do plano x y. Preencha as lacunas das integrais.
(a) Tratando R como uma região do tipo I,
integralegral duplaR f(x, y) d A=integralsquare^square integralsquare^square f(x, y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para preencher as lacunas das integrais duplas para uma região triangular no plano xy. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais duplas, mais especificamente a configuração dos limites de integração para uma Região do Tipo I. Para resolver isso, vamos precisar entender como descrever a região triangular com inequações que delimitam x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vértices do triângulo: (0,0), (3,0) e (0,4). Isso nos ajuda a visualizar a região R no plano.

Passo 3

Como estamos tratando a região como Tipo I, isso significa que vamos integrar primeiro em y e depois em x. Ou seja, teremos y variando entre duas funções de x, e x variando entre dois limites constantes.

Passo 4

Vamos determinar os limites para x. Observando os vértices, vemos que x varia de 0 até 3. Então, o limite externo para x é de 0 a 3.

Passo 5

Agora, para cada valor de x entre 0 e 3, vamos determinar os limites para y. A parte de baixo do triângulo está no eixo x, onde y = 0. A parte de cima é a linha que conecta (0,4) a (3,0). Precisamos encontrar a equação dessa linha.

Passo 6

Para encontrar a equação da linha que liga (0,4) a (3,0), usamos a fórmula da linha reta:
y = mx + b
Onde m é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear.
Calculando m:
m = 0 - 43 - 0 = -43
Então, a equação da reta é:
y = -43x + 4

Passo 7

Com isso, para cada x entre 0 e 3, y varia de 0 (parte de baixo do triângulo) até -43x + 4 (parte de cima do triângulo).

Passo 8

Agora, podemos preencher as lacunas da integral dupla. Ficará assim:
integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^3 integral0^-43x + 4 f(x, y) , dy , dx

Resposta

integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^3 integral0^-43x + 4 f(x, y) , dy , dx

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