Esboce e determine os elementos principais (focos, vértices, assíntotas, diretriz) das curvas cujas equações são
x^225+y^29=1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar e encontrar os elementos principais da curva definida pela equação x^225 + y^29 = 1. Isso envolve entender que estamos lidando com uma elipse, que é uma seção cônica. Para resolver, vamos precisar identificar os vértices, focos, diretrizes e verificar se tem assíntotas (mas, atenção, assíntotas geralmente são para hipérboles).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma padrão da equação da elipse:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde (h, k) é o centro da elipse. No nosso caso, a equação é x^225 + y^29 = 1, então o centro é (0,0), a^2 = 25 e b^2 = 9. Assim, a = 5 e b = 3.

Passo 3

Os vértices da elipse estão localizados ao longo do maior eixo. Como a > b, o eixo maior está no eixo x. Então, os vértices são:
( pm a, 0 ) Rightarrow ( pm 5, 0 )

Passo 4

Agora, vamos encontrar os focos. A fórmula para a distância dos focos ao centro é:
c = raiza^2 - b^2 = raiz25 - 9 = raiz16 = 4
Então, os focos estão em:
( pm c, 0 ) Rightarrow ( pm 4, 0 )

Passo 5

As diretrizes da elipse são linhas verticais (já que o eixo maior é horizontal) e são dadas por:
x = pm a^2c = pm 254 = pm 6,25
Então, as diretrizes são:
x = 6,25 e x = -6,25

Passo 6

Sobre as assíntotas, elas não existem para elipses. Assíntotas são características de hipérboles, então nesse caso, não precisamos considerar assíntotas.

Resposta

Os elementos principais da elipse x^225 + y^29 = 1 são:
  • Vértices: (5, 0) e (-5, 0)
  • Focos: (4, 0) e (-4, 0)
  • Diretrizes: x = 6,25 e x = -6,25
  • Assíntotas: Não há assíntotas para essa elipse.

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