Esboce e determine os elementos principais (focos, vértices, assíntotas, diretriz) das curvas cujas equações são
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para esboçar e determinar os elementos principais da curva definida pela equação
. Esse tipo de curva é estudado na matéria de Geometria Analítica, mais precisamente no estudo das cônicas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são vértices, focos, diretrizes e assíntotas, além de saber identificar o tipo de cônica que estamos lidando.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica é a equação
. Nesse caso, a equação está na forma padrão de uma parábola. As parábolas são curvas simétricas em relação a um eixo e têm um ponto especial chamado vértice, além de um foco e uma diretriz.
Passo 3
Vamos encontrar o vértice da parábola. O vértice é o ponto mais “curvado” da parábola. Na equação
, se compararmos com a forma padrão
, vemos que
e
. Portanto, o vértice está no ponto
.
Passo 4
Agora, vamos determinar o foco da parábola. Na forma padrão
, o parâmetro
representa a distância do vértice ao foco. Comparando
com a forma padrão, temos
, então
. Como a parábola abre para a direita (porque o termo
está isolado e positivo), o foco estará a
unidades à direita do vértice. Assim, o foco está em
.
Passo 5
Vamos achar a diretriz da parábola. A diretriz é uma reta paralela ao eixo de simetria da parábola e está a uma distância
do vértice, mas do lado oposto ao foco. Como
e a parábola abre para a direita, a diretriz está à esquerda do vértice. Portanto, a equação da diretriz é
.
Passo 6
Por fim, vamos verificar as assíntotas da parábola. Assíntotas são linhas que a curva se aproxima mas nunca toca, comuns em curvas como hipérboles. No caso de uma parábola, não há assíntotas porque a curva continua se estendendo indefinidamente sem se aproximar de nenhuma linha específica.
Resposta
Então, os elementos principais da curva
são:
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz:
- Assíntotas: Não possui