Esboce e determine os elementos principais (focos, vértices, assíntotas, diretriz) das curvas cujas equações são
x=y^2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para esboçar e determinar os elementos principais da curva definida pela equação x = y^2 . Esse tipo de curva é estudado na matéria de Geometria Analítica, mais precisamente no estudo das cônicas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são vértices, focos, diretrizes e assíntotas, além de saber identificar o tipo de cônica que estamos lidando.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica é a equação x = y^2 . Nesse caso, a equação está na forma padrão de uma parábola. As parábolas são curvas simétricas em relação a um eixo e têm um ponto especial chamado vértice, além de um foco e uma diretriz.

Passo 3

Vamos encontrar o vértice da parábola. O vértice é o ponto mais “curvado” da parábola. Na equação x = y^2 , se compararmos com a forma padrão (y - k)^2 = 4p(x - h) , vemos que h = 0 e k = 0 . Portanto, o vértice está no ponto (0, 0) .

Passo 4

Agora, vamos determinar o foco da parábola. Na forma padrão (y - k)^2 = 4p(x - h) , o parâmetro p representa a distância do vértice ao foco. Comparando x = y^2 com a forma padrão, temos 4p = 1 , então p = 14 . Como a parábola abre para a direita (porque o termo x está isolado e positivo), o foco estará a 14 unidades à direita do vértice. Assim, o foco está em ( 14, 0 ) .

Passo 5

Vamos achar a diretriz da parábola. A diretriz é uma reta paralela ao eixo de simetria da parábola e está a uma distância p do vértice, mas do lado oposto ao foco. Como p = 14 e a parábola abre para a direita, a diretriz está à esquerda do vértice. Portanto, a equação da diretriz é x = -14 .

Passo 6

Por fim, vamos verificar as assíntotas da parábola. Assíntotas são linhas que a curva se aproxima mas nunca toca, comuns em curvas como hipérboles. No caso de uma parábola, não há assíntotas porque a curva continua se estendendo indefinidamente sem se aproximar de nenhuma linha específica.

Resposta

Então, os elementos principais da curva x = y^2 são:
  • Vértice: (0, 0)
  • Foco: ( 14, 0 )
  • Diretriz: x = -14
  • Assíntotas: Não possui

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