Esboce uma
. Discuta paridade, intervalo crescente e decrescente, simetria e faça a inversa (caso exista), desta função. De que tipo é essa função?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem que esboçar o gráfico da função
. Além disso, precisamos analisar algumas características dela, como:
- Paridade: Ver se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
- Intervalos de crescimento e decrescimento: Onde a função está aumentando ou diminuindo.
- Simetria: Se o gráfico tem algum tipo de simetria.
- Inversa: Ver se conseguimos encontrar a função inversa.
- Tipo de função: Identificar se é polinomial, racional, etc.
Pra resolver isso, vamos precisar de conhecimentos básicos de análise de funções, como derivadas para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, além de entender o que significa paridade e simetria.
Passo 2
Paridade da Função
Primeiro, vamos verificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Para isso, substituímos
por
na função e comparamos com
.
Como
não é igual a
nem igual a
, a função não é par nem ímpar.
Passo 3
Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a derivada de
em relação a
e analisar o sinal dessa derivada.
Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Agora, vamos calcular a derivada
:
Simplificando:
Analisando o sinal de
:
- Quando
: Função está crescendo. - Quando
: Função está decrescendo.
Para isso, vamos olhar para os zeros do numerador e os pontos onde a derivada não está definida (discontinuidades).
E a derivada não está definida quando
(denominador zero).
Então, vamos analisar os intervalos:
-
: - Numerador:
(porque é negativo). - Denominador:
→ se , . - Sinal da derivada:
→ Decrescente.
- Numerador:
-
: - Numerador:
(porque é positivo). - Denominador:
. - Sinal da derivada:
→ Crescente.
- Numerador:
-
: - Numerador:
. - Denominador:
. - Sinal da derivada:
→ Decrescente.
- Numerador:
Resumo:
-
: Decrescente. -
: Crescente. -
: Decrescente.
Passo 4
Simetria da Função
A simetria está relacionada à paridade, que já verificamos. Como a função não é par nem ímpar, ela não possui simetria em relação ao eixo y ou à origem.
Passo 5
Encontrando a Inversa da Função
Para encontrar a função inversa, precisamos resolver a equação
para
.
Começamos com:
Primeiro, isolamos a fração:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Expandindo
:
Distribuindo
:
Levo tudo para um lado:
Fatorando os
:
Simplificando:
Essa é uma equação quadrática em
. Resolveremos usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando o discriminante e resolvendo fica muito complexo e não resulta em uma expressão simples. Portanto, a função inversa não pode ser expressa de forma explícita usando funções elementares.
Passo 6
Tipo de Função
Analisando a função
, vemos que:
- Polinomial: Não, porque possui uma fração com polinômios no numerador e denominador.
- Racional: Sim, uma função racional é o quociente de dois polinômios.
- Translação: Há uma translação vertical devido ao “+1”.
Portanto, a função é uma função racional.
Resposta
Resumindo, a função
não é par nem ímpar, está decrescente nos intervalos
e
, e cresce no intervalo
. Ela não possui simetria, não tem inversa expressa de forma simples, e é do tipo função racional.