Esboce uma K(a)=a^2 / 3(a-2)^2+1. Discuta paridade, intervalo crescente e decrescente, simetria e faça a inversa (caso exista), desta função. De que tipo é essa função?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem que esboçar o gráfico da função K(a) = a^23(a-2)^2 + 1 . Além disso, precisamos analisar algumas características dela, como:
  • Paridade: Ver se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
  • Intervalos de crescimento e decrescimento: Onde a função está aumentando ou diminuindo.
  • Simetria: Se o gráfico tem algum tipo de simetria.
  • Inversa: Ver se conseguimos encontrar a função inversa.
  • Tipo de função: Identificar se é polinomial, racional, etc.
Pra resolver isso, vamos precisar de conhecimentos básicos de análise de funções, como derivadas para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, além de entender o que significa paridade e simetria.

Passo 2

Paridade da Função
Primeiro, vamos verificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Para isso, substituímos a por -a na função e comparamos com K(a) .
K(-a) = (-a)^23(-a - 2)^2 + 1 = a^23(a + 2)^2 + 1
Como K(-a) não é igual a K(a) nem igual a -K(a) , a função não é par nem ímpar.

Passo 3

Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a derivada de K(a) em relação a a e analisar o sinal dessa derivada.
Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
K(a) = a^23(a - 2)^2 + 1
Agora, vamos calcular a derivada K'(a) :
K'(a) = dda ( a^23(a - 2)^2 ) = 2a cdot 3(a - 2)^2 - a^2 cdot 6(a - 2)9(a - 2)^4 = 6a(a - 2)^2 - 6a^2(a - 2)9(a - 2)^4
Simplificando:
K'(a) = 6a(a - 2) - 6a^29(a - 2)^3 = 6a(a - 2 - a)9(a - 2)^3 = -12a9(a - 2)^3 = -4a3(a - 2)^3
Analisando o sinal de K'(a) :
  • Quando K'(a) > 0 : Função está crescendo.
  • Quando K'(a) < 0 : Função está decrescendo.
Para isso, vamos olhar para os zeros do numerador e os pontos onde a derivada não está definida (discontinuidades).
-4a = 0 Rightarrow a = 0
E a derivada não está definida quando a = 2 (denominador zero).
Então, vamos analisar os intervalos:
  1. a < 0 :
    • Numerador: -4a > 0 (porque a é negativo).
    • Denominador: 3(a - 2)^3 → se a < 2 , (a - 2)^3 < 0 .
    • Sinal da derivada: +- = - → Decrescente.
  2. 0 < a < 2 :
    • Numerador: -4a < 0 (porque a é positivo).
    • Denominador: 3(a - 2)^3 < 0 .
    • Sinal da derivada: -- = + → Crescente.
  3. a > 2 :
    • Numerador: -4a < 0 .
    • Denominador: 3(a - 2)^3 > 0 .
    • Sinal da derivada: -+ = - → Decrescente.
Resumo:
  • -infty < a < 0: Decrescente.
  • 0 < a < 2: Crescente.
  • a > 2: Decrescente.

Passo 4

Simetria da Função
A simetria está relacionada à paridade, que já verificamos. Como a função não é par nem ímpar, ela não possui simetria em relação ao eixo y ou à origem.

Passo 5

Encontrando a Inversa da Função
Para encontrar a função inversa, precisamos resolver a equação K(a) = y para a .
Começamos com:
y = a^23(a - 2)^2 + 1
Primeiro, isolamos a fração:
y - 1 = a^23(a - 2)^2
Multiplicamos ambos os lados por 3(a - 2)^2 :
3(y - 1)(a - 2)^2 = a^2
Expandindo (a - 2)^2 = a^2 - 4a + 4 :
3(y - 1)(a^2 - 4a + 4) = a^2
Distribuindo 3(y - 1) :
3(y - 1)a^2 - 12(y - 1)a + 12(y - 1) = a^2
Levo tudo para um lado:
3(y - 1)a^2 - a^2 - 12(y - 1)a + 12(y - 1) = 0
Fatorando os a^2 :
[3(y - 1) - 1]a^2 - 12(y - 1)a + 12(y - 1) = 0
Simplificando:
(3y - 4)a^2 - 12(y - 1)a + 12(y - 1) = 0
Essa é uma equação quadrática em a . Resolveremos usando a fórmula de Bhaskara:
a = 12(y - 1) pm raiz[12(y - 1)]^2 - 4(3y - 4)(12(y - 1))2(3y - 4)
Simplificando o discriminante e resolvendo fica muito complexo e não resulta em uma expressão simples. Portanto, a função inversa não pode ser expressa de forma explícita usando funções elementares.

Passo 6

Tipo de Função
Analisando a função K(a) = a^23(a-2)^2 + 1 , vemos que:
  • Polinomial: Não, porque possui uma fração com polinômios no numerador e denominador.
  • Racional: Sim, uma função racional é o quociente de dois polinômios.
  • Translação: Há uma translação vertical devido ao “+1”.
Portanto, a função é uma função racional.

Resposta

Resumindo, a função K(a) = a^23(a-2)^2 + 1 não é par nem ímpar, está decrescente nos intervalos (-infty, 0) e (2, +infty) , e cresce no intervalo (0, 2) . Ela não possui simetria, não tem inversa expressa de forma simples, e é do tipo função racional.

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