Verifique se cada função é diferenciável.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é diferenciável. O conteúdo é diferenciabilidade de funções de duas variáveis, usando o fato de que composições de funções diferenciáveis (com domínio adequado) são diferenciáveis, e também o critério de existência e continuidade das derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio de
. Como
só está definida quando
, aqui
. Logo o domínio é
ou seja, todos os
tais que
Passo 3
Note que a função
é
em
e
é
em cada região onde
. Portanto
é
(logo diferenciável) em todo ponto de
.
Passo 4
Para reforçar, calculamos as derivadas parciais e verificamos que são contínuas em
. Com
temos
e como
, obtemos
As funções
e
são contínuas em
, garantindo a diferenciabilidade de
ali.
Resposta
A função
é diferenciável em todo o domínio
com derivadas parciais