Verifique se cada função é diferenciável.
f(x, y)=tg(x y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=tan(xy)
é diferenciável. O conteúdo é diferenciabilidade de funções de duas variáveis, usando o fato de que composições de funções diferenciáveis (com domínio adequado) são diferenciáveis, e também o critério de existência e continuidade das derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de f. Como tan(u) só está definida quando cos(u)neq0, aqui u=xy. Logo o domínio é
D=l(x,y)inR^2 mid cos(xy)neq0r
ou seja, todos os (x,y) tais que
xyneq(2k+1)pi2, kinZ

Passo 3

Note que a função u(x,y)=xy é C^infty em R^2 e tan(u) é C^infty em cada região onde cos(u)neq0. Portanto f(x,y)=tanl(u(x,y)r) é C^infty (logo diferenciável) em todo ponto de D.

Passo 4

Para reforçar, calculamos as derivadas parciais e verificamos que são contínuas em D. Com u=xy temos
partial upartial x=y, partial upartial y=x,
e como ddutan(u)=sec^2(u), obtemos
partial fpartial x(x,y) = y;sec^2(xy), partial fpartial y(x,y) = x;sec^2(xy)
As funções ysec^2(xy) e xsec^2(xy) são contínuas em D, garantindo a diferenciabilidade de f ali.

Resposta

A função f(x,y)=tan(xy) é diferenciável em todo o domínio
(x,y)inR^2 mid cos(xy)neq0,
com derivadas parciais
partial fpartial x(x,y)=ysec^2(xy), partial fpartial y(x,y)=xsec^2(xy)

Exercícios relacionados